4.4 数学归纳法-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

　数学归纳法* 学业标准 素养目标 1．了解数学归纳法的原理．(难点、易混点) 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点) 1．通过数学归纳法定义的学习，体现了数学抽象的核心素养． 2．通过数学归纳法的应用，培养学生逻辑推理的核心素养． [教材梳理] 导学　数学归纳法 在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下． 　试想，要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？ [提示]　①第一辆自行车倒下；②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下． 　利用这种思想方法能解决哪类数学问题？ [提示]　一些与正整数n有关的问题． ◎结论形成 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当__n＝k＋1__时命题也成立． 根据(1)(2)就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫作数学归纳法． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用数学归纳法证题时可以只证明归纳递推即可．(　　) (2)数学归纳法证明3n≥n2(n≥3，n∈N*)，第一步验证n＝3.(　　) (3)设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1＝＋＋＋…＋.(　　) (4)数学归纳法可以证明任意等式．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步应验证n等于(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析　边数最少的凸n边形是三角形，故选C. 答案　C 3．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)”，在验证n＝1时，等式左边是(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 解析　当n＝1时，左边＝1＋a＋a2.故选C. 答案　C 4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下： (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明，错误是________． 解析　本题在由n＝k成立证明n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符． 答案　未用归纳假设 题型一　用数学归纳法证明等式 　用数学归纳法证明：1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2＝(3n2＋11n＋10)，其中n∈N*. [自主解答]　证明　①当n＝1时，左边＝1×22＝4， 右边＝×(3×12＋11×1＋10)＝4， 所以左边＝右边，等式成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立， 即1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2＝ (3k2＋11k＋10)， 那么当n＝k＋1时， 1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)·(k＋2)2 ＝(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2 ＝(3k＋5)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)2 ＝(3k2＋5k＋12k＋24) ＝[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]. 即当n＝k＋1时，等式也成立， 综上，对任何n∈N*，等式都成立． [规律方法] 用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n＝k＋1时证明目标的表达式进行变形． [触类旁通] 1．用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*). 解析　证明　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3. 则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3， 即当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)知，等式对任何n∈N*都成立． 题型二　用数学归纳法证明不等式 　已知f(n)＝1＋＋＋…＋，当n＞1，n∈N*时，