4.3.2等比数列的性质-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

4．3.2　等比数列的性质 学业标准 素养目标 1.掌握等比数列的性质及其应用．(重点) 2．熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点) 3．能用递推公式求通项公式．(难点) 1.借助递推公式转化为等比数列求通项，培养逻辑推理及数学运算素养． 2．通过灵活设项求解等比数列问题以及等比数列性质的应用，培养数学运算素养． [教材梳理] 导学　等比数列的性质 　 在等差数列{an}中，存在很多的性质，如 (1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)， (2)若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap， (3)若l1，l2，l3，l4…ln成等差数列，则al1，al2，al3，al4，…aln也成等差数列． 那么如果该数列为等比数列，能否求出等比数列的相类似的性质呢？ [提示]　能 ◎结论形成 1．推广的等比数列的通项公式 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝__a1qn－1__，an＝__am·qn－m__(m，n∈N*). 2．“子数列”性质 对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为__等比__数列，首项为__ak＋1__，公比为__q__；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为__等比__数列，首项为__ak__，公比为__qk__． 3．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝__ap·aq__． ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝__a__． ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的__积__，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. 4．两等比数列合成数列的性质 若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}，{an·bn}，也为__等比__数列． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)知道等比数列的某一项和公比，可以计算等比数列的任意一项．(　　) (2)若{an}为等比数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am·an＝ap.(　　) (3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．(　　) (4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　 2．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5＝(　　) A．±　　　　　　　 B．－ C． D．± 解析　根据等比数列的性质可知a1a5＝a⇒a5＝＝. 答案　C 3．在等比数列{an}中，已知a3＝1，a5＝4，a12＝8，则a10＝________． 解析　由a3a12＝a5a10，得1×8＝4a10，解得a10＝2. 答案　2 4．(2022·扬州中学校考)在等比数列中，已知a3a5a7＝8，则a1a9＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析　在等比数列中，a3a5a7＝a＝8，解得a5＝2，则a1a9＝a＝4.故选A. 答案　A 题型一　灵活设元求等比数列一题多解 　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． [自主解答]　法一　设四个数依次为a－d，a，a＋d，， 由条件得 解得或 所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16； 当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 法二　设四个数依次为－a，，a，aq(q≠0)， 由条件得 解得或 当a＝8，q＝2时，所求四个数为0，4，8，16； 当a＝3，q＝时，所求四个数为15，9，3，1. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. [规律方法] 巧设等差数列、等比数列的方法 (1)若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d.若三数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2. (2)若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2.若四个正数成等比数列，可设为，，aq，aq3. [触类旁通] 1．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数． 解析　法一　设三个数依次为a，aq，aq2， 由题意知 ∴ 即 解得＝，得9q4－82q2＋9＝0，解得q2＝9或q2＝，∴q＝±3或q＝±. 若q＝3，则a1＝1； 若q＝－3，则a1＝－1； 若q＝，则a1＝9； 若q＝－，则a1＝－9. 故这三个数为1，3，9或－1，3，－9或9，3，1或－9，3，－1. 法二　设这三个数分别为，a，aq. ⇒ 得9q4－82q2＋9＝0，即得