4.3.1等比数列的概念及通项公式-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

　等比数列 4．3.1　等比数列的概念及通项公式 学业标准 素养目标 1．理解等比数列的概念．(重点) 2．掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点) 3．熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点) 1．通过等比数列的通项公式的学习及应用，体现了数学运算素养． 2．借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养． [教材梳理] 导学1　等比数列的概念 观察下面几个数列： (1)4，－4，4，－4，…； (2)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是1，2，22，23，…，263； (3)某人年初投资10 000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为10 000×1.05，10 000×1.052，…，10 000×1.055. 　上述三个例子中的数列，它们是等差数列吗？ [提示]　不是． 　这三个数列，从第2项起与前一项的比有什么特点？ [提示]　各等于同一个常数． ◎结论形成 等比数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第__2__项起，每一项与它的前一项的比都等于__同一个常数__，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的__公比__，公比通常用字母q表示 符号语言 ＝__q__(q为常数，q≠0，n∈N*) 导学2　等比数列的通项公式 　若数列{an}为等比数列，公比为q，则a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…，由此你可以得出什么结论呢？ [提示]　an＝a1qn－1. ◎结论形成 1．等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有an＝__a1·qn－1__.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比． 2．等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的__孤立__点． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(　　) (3)常数列一定为等比数列．(　　) (4)数列a，a，a，a，…是等比数列．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列数列是等比数列的是(　　) A．3，9，15，21，27 B．1，1.1，1.21，1.331，1.464 C．，，，， D．4，－8，16，－32，64 解析　A、B、C均不满足定义中＝q，只有D满足＝－2.故选D. 答案　D 3．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，则a3＝__________． 解析　由an＋1＝2an，知{an}为等比数列，q＝2. 又a1＝2，∴a3＝2×22＝8. 答案　8 4．(2022·上海市青浦高级中学校考期末)等比数列中，a1＝1且a1a2a3＝－8，则公比为________． 解析　在等比数列中，因为a＝a1a2a3＝－8，则a2＝－2，所以公比q＝＝－2.故答案为－2. 答案　－2 题型一　等比数列通项公式的基本运算 　在等比数列{an}中． (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. [自主解答]　 (1)因为所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2. (2)法一　因为 由得q＝，从而a1＝32. 又an＝1，所以32×＝1，即26－n＝20，所以n＝6. 法二　因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，得n＝6. [规律方法]　 与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式，an＝a1·qn－1(a1q≠0)中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量．求解时，要注意应用q≠0验证求得的结果． [触类旁通] 1．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15，45，则第5项是(　　) A．405　　　　　　 B．－405 C．135 D．－135 解析　∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，∴a5＝405. 答案　A (2)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________． 解析　由2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2或q＝， 由a＝a