4.2.3 第2课时 等差数列前n项和的性质-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

第2课时　等差数列前n项和的性质 学业标准 素养目标 1．掌握an与Sn的关系并会应用．(难点) 2．掌握等差数列前n项和的性质及应用．(重点) 3．会用裂项相消法求和．(易错点) 1．通过等差数列前n项和Sn的函数特征的学习，体现了数学建模素养． 2．借助等差数列前n项和Sn性质的应用及裂项相消法求和，培养数学运算素养． [教材梳理] 导学　等差数列前n项和的性质 　等差数列前n项和公式可以转化为关于n的一元二次函数(d≠0)或一次函数(d＝0时) Sn＝n2＋n，反过来，如果一个数列的前n项和是关于n的一元二次函数，那么该数列一定是等差数列吗？ [提示]　不一定． 　如果{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？ [提示]　(a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)＝10d＋10d＋…＋10d10个 ＝100d， 类似可得(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d. ∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列． ◎结论形成 等差数列前n项和的性质 (1)等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，__S2n－Sn__，S3n－S2n，__S4n－S3n__，…构成等差数列． (2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数). (3)在等差数列{an}中，a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…也成等差数列，a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，…也成等差数列． (4)在等差数列{an}中，数列为等差数列． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也是等差数列．(　　) (2)在等差数列{an}中，S4，S8，S12，…成等差数列.(　　) (3)若等差数列的项数为偶数2n，则S偶－S奇＝nd.(　　) (4)数列{n＋1}的前n项和Sn没有最小值．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2. 在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n＝(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 解析　∵＝，∴＝.∴n＝10.故选B项． 答案　B 3．(2023·扬州检测)已知数列满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝100，则其前9项和等于(　　) A.150 B．180 C．300 D．360 解析　因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝a3＋a7＋a4＋a6＋a5＝5a5＝100， 所以a5＝20，所以其前9项和等于S9＝＝＝9a5＝180，故选B. 答案　B 4．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是________． 解析　等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn， ∴λ＝－1. 答案　－1 题型一　等差数列前n项和性质的应用一题多解 　等差数列{an}前n项和Sn，S10＝100，S100＝10，求S110. [自主解答]　法一　∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，∴该数列的前10项和为10×100＋d＝S100＝10，解得d＝－22， ∴前11项和S110＝11×100＋×(－22)＝－110. 法二　由也是等差数列，构造新的等差数列b1＝＝10，b10＝＝， 则d＝(b10－b1)＝＝－， 所以b11＝＝b10＋d ＝＋＝－1， 所以S110＝－110. [规律方法]　 等差数列前n项和运算的几种思维方法 (1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解． (2)待定系数法：利用当公差d≠0时Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算． (3)利用Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列进行求解． [触类旁通] 1．(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18＝(　　) A．36　　　 B．18　　　 C．72　　　 D．9 解析　由S3，S6－S3，…，S18－S15成等差数列知，S18＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋…＋(S18－S15)＝＝36. 答案　A　 (2)(2022·宿迁期中)已知等差数列，S3＝7，S6＝15，则S9为________． 解析