4.2.3 第1课时 等差数列的前n项和-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

4．2.3　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和 学业标准 素养目标 1．了解等差数列前n项和公式的推导过程．(难点) 2．掌握等差数列前n项和公式及其应用．(重点) 3．会求等差数列前n项和的最值．(重点) 1．通过等差数列前n项和的有关计算及an与Sn关系的应用，培养数学运算素养． 2．借助等差数列前n项和的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养． [教材梳理] 导学　 等差数列的前n项和 如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根． 　共有几层？图形的横截面是什么形状？ [提示]　六层，等腰梯形． 　假设在这堆钢管旁边再倒放上捆扎着的同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？ [提示]　(4＋9)×6＝78. 　原来有多少根钢管？ [提示]　×78＝39. 　能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn＝a1＋a2＋…＋an? [提示]　能．Sn＝a1＋a2＋…＋an，Sn＝an＋an－1＋…＋a1， 相加得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)，∴Sn＝. 　试用a1，d，n表示Sn. [提示]　∵an＝a1＋(n－1)d，∴Sn＝＝na1＋d. ◎结论形成 等差数列的前n项和公式 (1)数列{an}的前n项和：对于数列{an}，把__a1＋a2＋…＋an__称为数列{an}的前n项和，记作Sn. (2)等差数列前n项和公式推导：等差数列前n项和公式是用__倒序相加法__推导的． (3)等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝____ Sn＝__na1＋d__ [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．(　　) (2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．(　　) (3)等差数列{an}的前n项和Sn都可以写成二次函数Sn＝An2＋Bn.(　　) (4)已知等差数列的首项和公差，可求S10.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝(　　) A．230　　 B．420　　 C．450　　 D．540 解析　S20＝20a1＋d＝20×2＋20×19＝420. 答案　B 3．等差数列－1，－3，－5，…的前n项和是－100，那么n的取值为(　　) A．8　　　 B．9　　　 C．10　　　 D．11 解析　根据公式Sn＝na1＋d，得－100＝－n＋×(－2)，解得n＝10. 答案　C 4．(2023·常州期末)已知函数y＝f(x)满足f(x)＋f(1－x)＝1，若数列满足an＝f(0)＋f＋f＋…＋f＋f(1)，则数列的前16项的和为________． 解析　an＝f(0)＋f＋f＋…＋f＋f(1)①， an＝f(1)＋f＋f＋…＋f＋f(0)②， 两式相加，又f(x)＋f＝1，故2an＝n＋1，所以an＝， S16＝a1＋a2＋…＋a16＝1＋＋…＋＝＝76.答案为76. 答案　76 题型一　等差数列前n项和的有关计算 　(1)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝，S2＝a3，则a2＝________；Sn＝________． [自主解答]　 设公差为d，则由S2＝a3得2a1＋d＝a1＋2d，所以d＝a1＝，故a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋d＝. [答案]　1　 (2)在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n. [自主解答]　由 得 解方程组，得或 [规律方法] a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用． [触类旁通] 1．(2023·连云港期末)在等差数列{an}中，已知公差d＝，an＝，前n项和Sn＝－ (其中n>2). (1)求n； (2)求和：.(即|a1|＋|a2|＋…＋|an|) 解析　(1)由题意公差d＝，an＝，前n项和Sn＝－， 所以 解之得即n＝10； (2)由(1)可知数列{an}的通项公式为an＝－3＋(n－1)×＝n－(n∈N*)， 当2<n≤7时，|ai|＝n×＋×＝， 当n≥8时，|ai|＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝Sn－S7－S7＝Sn－2S7， 即＝n×＋×－2