4.2.2等差数列的性质-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

4．2.2　等差数列的性质 学业标准 素养目标 1．掌握等差数列的有关性质(重点、易错点)． 2．能灵活运用等差数列的性质解决问题(难点). 1．通过等差数列性质的学习，体现了数学运算素养． 2．借助等差数列的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养． [教材梳理] 导学1　等差数列的图象 　由an＝a1＋(n－1)d可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？ [提示]　等差数列的通项公式可以变形为an＝nd＋(a1－d)，是关于n的一次函数，d为斜率，故过两点(1，a1)，(n，an)直线的斜率d＝，当两点为(n，an)，(m，am)时有d＝. ◎结论形成 等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以__d__为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点． 导学2　 等差数列的性质 　若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝ap一定成立吗？ [提示]　不一定．如常数列{an}，1＋2＝3， 而a1＋a2＝2a3. ◎结论形成 等差数列的性质 (1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝__ap＋aq__． ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的__和__，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为__等差__数列． (3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为__d__的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为__cd__的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为__2d__的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为__pd1＋qd2__的等差数列． (5){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为__递增__数列； d<0⇔{an}为__递减__数列；d＝0⇔{an}为常数列． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.(　　) (2)若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列．(　　) (3)若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…也是等差数列．(　　) (4)若数列{an}为等差数列，则an＋1＝an－1＋2d，n>1，且n∈N*.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　 (4)√ 2．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　) A．a1＋a101>0　　　　　 B．a2＋a101<0 C．a3＋a99＝0 D．a51＝51 解析　∵a1＋a2＋…＋a101＝0， 又a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，∴101a51＝0，∴a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0. 答案　C 3．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝－3，a4＝－2，则a6＝________. 解析　由a2＋a8＝a4＋a6，得a6＝－1. 答案　－1 4．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＝6，则数列{2an－3}是公差为________的等差数列． 解析　{an}中a3＝a1＋2d，得d＝2，∴2an－3＝4n－3. 答案　4 题型一　等差数列的性质一题多解 　(1)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________． [自主解答]　法一　设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2， 因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2) ＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21， 所以d1＋d2＝7， 所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35. 法二　∵数列{an}，{bn}都是等差数列， ∴数列{an＋bn}也构成等差数列， ∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)， ∴2×21＝7＋a5＋b5， ∴a5＋b5＝35. [答案]　35 (2)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a22＝________． [自主解答]　根据题意，可设等差数列{an}的公差为d， 又由a1＋a3＋a5＝105，则3a3＝105，即a3＝35，a2＋a4＋a6＝99，则3a4＝99，