4.1 第2课时 数列的递推公式-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

第2课时　数列的递推公式 学业标准 素养目标 1．理解递推公式的含义(重点)． 2．掌握递推公式的应用(难点)． 借助利用数列的递推公式求具体项或求通项，培养学生的逻辑推理素养与数学运算素养． [教材梳理] 导学　 数列的递推公式 某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位． 　写出前五排座位数． [提示]　20，22，24，26，28. 　第n排与第n＋1排座位数有何关系？ [提示]　第n＋1排比第n排多2个座位． 　第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？ [提示]　能．an＋1＝an＋2. ◎结论形成 1．数列的递推公式 (1)两个条件： ①已知数列的第1项(或前几项)； ②任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示． (2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的__递推__公式． 2. 数列递推公式与通项公式的关系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项__an－1__(或前几项)之间的关系 表示an与__n__之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N*，则a2＝2a1.(　　) (2)利用an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}．(　　) (3)设数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1.(　　) (4)任意数列都能用递推公式表示．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知数列{an}中的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，此数列的第3项是(　　) A．1　　　　　　　　 B． C. D． 解析　∵an＋1＝an＋，a1＝1，∴a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝×1＋＝.故选C. 答案　C 3．数列{an}满足an＋1＝1－，且a1＝2，则a2 020的值为(　　) A． B．－1 C．2 D．1 解析　由an＋1＝1－及a1＝2，得a2＝，a3＝－1，a4＝2，至此可发现数列{an}是周期为3的周期数列：2，，－1，2，，－1，…. 而2 020＝673×3＋1，故a2 020＝a1＝2. 答案　C 4．(2022·连云港期末)在数列中，a1＝，an＝1－(n≥2，n∈N*)，则a2 023＝(　　) A． B．1 C．－1 D．2 解析　a2＝1－＝1－2＝－1，a3＝1－＝1＋1＝2，a4＝1－＝1－＝， 可得数列是以3为周期的周期数列，∴a2 023＝a3×674＋1＝a1＝，故选A. 答案　A 题型一　由递推公式求数列中的项 　已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项． [自主解答]　∵a1＝1，an＋1＝，∴a2＝＝，a3＝＝＝， a4＝＝＝，a5＝＝＝. 故该数列的前5项为1，，，，. [规律方法]　 根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． [触类旁通] 1．(1)数列{an}，an＋1＝，a8＝2，则a1＝________. 解析　∵an＋1＝，∴an＝1－ ∵a8＝2，∴a7＝1－＝ ∴a6＝－1，a5＝2， ∴{an}是周期数列，∴a1＝a7＝. 答案　 (2)数列中，a1＝1，且an＋1＝an，则a48＝________． 解析　因为an＋1＝an，所以＝，所以＝， 又＝，所以是常数列．所以＝＝， 所以an＝，所以a48＝＝1 176.故答案为1 176. 答案　1 176 题型二　数列的单调性及其应用一题多解 　已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)× (n∈N*)，试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由． [自主解答]　法一　作差比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性． an＋1－an＝(n＋3)×－(n＋2)×＝×. 当n＜5时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an； 当n＝5时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n＞5时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an. 故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞a8＞…， 所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6， 且a5＝a6＝. 法二　作商比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性． ＝＝. 又an＞0， 令＞1，解得n＜5；令＝1，解得n＝5；令＜1，解得n＞5. 故a1＜a2＜a