2023年广西中考数学专题复习：二次函数与菱形存在性问题

2023年广西中考数学专题复习： 二次函数与菱形存在性问题 性质:一组邻边相等的平行四边形是菱形 解题公式： 以A.B.C.D为顶点时： 1.以AB.CD为对角线时 2.以AC.BD为对角线时 1.以AD.BC为对角线时 一、解答题 1．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．    (1)求抛物线的解析式； (2)当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及的周长； (3)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 2．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．其中点，连接． （l）求抛物线的解析式； （2）如图1，在抛物线上两点间有一动点P（点P不与两点重合），过点P作的平行线，交于点G，求的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点M为新抛物线对称轴上的一动点，点N为平面内的任意一点，是否存在点N使得以为顶点的四边形是以为边的菱形，若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，直线经过点B，C，点P是抛物线上的动点，过点P作轴，垂足为Q，交直线BC于点D． (1)求抛物线的解析式及点A的坐标； (2)当点P位于直线BC上方且面积最大时，求P的坐标； (3)若点E是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点E，使得以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，且． (1)求这个抛物线的解析式； (2)如图2，点P为线段上方抛物线上一动点，过P点作线段的垂线交于点R，作x轴的平行线交于点Q，当的周长最大时，请求出周长的最大值及点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线y沿射线方向平移个单位到新抛物线，M为新抛物线与原抛物线y的交点，N为原抛物线对称轴上一点，S为平面上任意一点，是否存在点S使得以点M，N，P，S为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出满足条件的S点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于，两点，与y轴交于C点，点P是直线BC下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当动点Р运动到什么位置时，使四边形ACPB的面积最大，求出此时四边形ACPB的面积最大值和P的坐标； (3)如图2，点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有M点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，以为顶点的抛物线经过点，交y轴于点，动点在对称轴上． （1）求抛物线解析式； （2）若点从点出发，沿方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点停止，设运动时间为秒，过点作交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于点，连接，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？ （3）若点是平面内的任意一点，在轴上方是否存在点，使得以点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，，以A为顶点的抛物线经过点，交y轴于点，动点P在对称轴上． (1)求抛物线解析式； (2)若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接，当t为何值时，的面积最大？最大值是多少？ (3)若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)，周长 (3)，，，， 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）因为为定值，所以当最小时，的周长最小，如图1，连接交对称轴于点P，由轴对称性质可知，此点P即为所求，再利用勾股定理求出、，即可得出答案； （3）设，则，，，分三种情况进行讨论①当以为对角线时，则，建立方程求解即可，②以为对角线时，则，建立方程求解即可，③当以为对角线时，则，建立方程求解即可． 【详解】（1）∵抛物线交x轴于两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）在中，令，得， ∴， ∵的周长为：是定值， ∴当最小时，的周长最小． 如图1，点A、B关于对称轴l对称，连接交l于点P，则点P为所求的点．    ∵