7.1.2 全概率公式；7.2.3贝叶斯公式同步配套分层练习-2025-2026学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020选择性必修第二册）

第八章 成对数据的统计分析》同步配套分层练习-2024-2025学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020）选择性必修第二册 【解析版】 7.1.2 全概率公式；*7.2.3 贝叶斯公式 【附录】相关考点 考点一 全概率公式 一般地，设Ω1，Ω2，…，Ωn是一组两两互斥的事件，Ω1∪Ω2∪…∪Ωn＝Ω，且P(Ωi)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω， 有P(B)＝P(Ωi)P(B|Ωi)，我们称上面的公式为全概率公式； 考点二 *贝叶斯公式 *贝叶斯公式：设Ω1，Ω2，…，Ωn是一组两两互斥的事件，Ω1∪Ω2∪…∪Ωn＝Ω，且P(Ωi)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ωi|B)＝＝，i＝1,2，…，n. 说明： 1、全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率运算，即运用了“化整为零”的思想处理问题； 2、全概率公式与贝叶斯公式的联系与区别是什么？ 【解析】两者的最大不同是处理的对象不同，其中全概率公式用来计算复杂事件的概率，而贝叶斯公式是用来计算简单条件下发生的复杂事件的概率，也就是说，全概率公式是计算普通概率的，贝叶斯公式是用来计算条件概率的. 3、概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式和贝叶斯公式正好起到了这样的作用； 【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容； 1、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D； 【解析】设A表示“第一个人取得黄球”，B表示“第二个人取得黄球”， 则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝； 2、已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假设男人、女人各占一半，现随机地挑选一人，则此人恰是色盲的概率为（ ） A．0.012 45 B．0.057 86 C．0.026 25 D．0.028 65 【答案】C； 【解析】设A表示“此人恰是色盲”，B1表示“随机挑选一人为男人”，B2表示“随机挑选一人为女人”， 则P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝×0.05＋×0.002 5＝0.026 25； 3、某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（ ） A．0.6 B．0.85 C．0.868 D．0.88 【答案】C； 【解析】设从仓库中随机提出的一台产品是合格品为事件B， 事件Ai表示提出的一台产品是第i车间生产的，i＝1,2， 由题意可得P(A1)＝＝0.4，P(A2)＝＝0.6，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88， 由全概率公式得：P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868. 所以该产品合格的概率为0.868. 4、播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15,0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为(　　) A．0.8 B．0.532 C．0.482 5 D．0.312 5 【答案】C； 【解析】设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4， 且A1，A2，A3，A4两两互斥，设B表示“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”， 则P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5. 【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题； 5、有两箱同一种产品，第一箱内装50件，其中10件优质品，第二箱内30件，其中18件优质品，现在随意地打开一箱，然后从箱中随意取出一件，则取到的是优质品的概率是________． 【答案】； 【解析】设A＝“取到的是优质品”，Bi＝“打开的是第i箱”(i＝1，2)， 则P(B1)＝P(B2)＝，P(A|B1)＝＝，P(A|B2)＝＝， 直接利用全概率公式：P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝. 6、盒子中有大小形状相同的7个小球，其中有4个白球，3个黑球，先随机从盒子中取出两个小球，再从该盒中取出一个小球，则最后取出的小球为白球的概率是________． 【答案】； 【解析】记A1为先取出的两个小球都为白球，A2为先取出的两个小球为一白一黑， A3为先取出的两个小球都为黑球，B为最后取出的小球为白球， 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝×＋×＋×＝. 7、设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率． 【解析】设B＝“中途停车修理”，A1＝“经过的是货车”，A2＝“经过的是客车”，则B＝A1B∪A2B， 由贝叶斯公式，得P(A1|B)＝＝＝0.8. 8、设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%,35%,40%，它们的次品率依次为5%,4%,2%.现从这批工件中任取一件． （1）求取到次品的概率； （2）已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率．(精确到0.01) 【解析】（1）设事件B1，B2，B3分别表示取出的工件是甲、乙、丙车间生产的，A表示“取到的是次品”． 易知B1，B2，B3两两互斥，根据全概率公式， 可得P(A)＝(Bi)P(A|Bi)＝0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5. 故取到次品的概率为0.034 5； （2）P(B1|A)＝＝＝≈0.36. 故已知取到的是次品，则它是甲车间生产的概率约为0.36； 【说明】贝叶斯公式的内涵 （1）公式P(A1|B)＝＝反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系． （2）P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事情A1发生的可能在各种可能原因中的比重． 【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。 9、设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份，7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生报名表的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设A表示“先取到的是女生报名表”，Bi表示“取到第i个地区的报名表”，i＝1,2,3， 则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥， 所以，P(A)＝(Bi)P(A|Bi)＝×＋×＋×＝. 10、学校有a，b两个餐厅，如果王同学早餐在a餐厅用餐，那么他午餐也在a餐厅用餐的概率是；如果他早餐在b餐厅用餐，那么他午餐在a餐厅用餐的概率是.若王同学早餐在a餐厅用餐的概率是，那么他午餐在a餐厅用餐的概率是________． 【答案】； 【解析】设A1表示“早餐去a餐厅用餐”，B1表示“早餐去b餐厅用餐”， A2表示“午餐去a餐厅用餐”，且P(A1)＋P(B1)＝1， 根据题意得P(A1)＝，P(B1)＝，P(A2|A1)＝，P(A2|B1)＝， 由全概率公式可得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝×＋×＝. 11、鲜花饼是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表，鲜花饼的保质期一般在三至四天．据统计，某超市一天鲜花饼卖出2箱的概率为，卖出1箱的概率为，没有卖出的概率为，假设第一天该超市开始营业时货架上有3箱鲜花饼，为了保证顾客能够买到新鲜的鲜花饼，该超市规定当天结束营业后检查货架上存货，若卖出2箱，则需补货至3箱，否则不补货． （1）在第一天结束营业后货架上有2箱鲜花饼的条件下，求第二天结束营业时货架上有1箱鲜花饼的概率； （2）求第二天结束营业时货架上有1箱鲜花饼的概率． 【解析】设事件A表示“第二天开始营业时货架上有3箱鲜花饼”，事件B表示“第二天开始营业时货架上有2箱鲜花饼”，事件C表示“第二天结束营业时货架上有1箱鲜花饼”． （1）因为第一天结束营业后货架上有2箱鲜花饼，所以第二天只卖出1箱，故P(C|B)＝. （2）由题意，P(A)＝＋＝，P(B)＝，P(C|A)＝， 由全概率公式得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×＋×＝. 12、同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数按2∶3∶5的比例混合在一起． （1）从中任取一件，求此产品为正品的概率； （2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？ 【解析】设事件A表示“取到的产品为正品”，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”， 由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5， P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8， （1）由全概率公式得： P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86， （2）由贝叶斯公式得 P(B1|A)＝＝≈0.220 9， P(B2|A)＝＝≈0.314 0， P(B3|A)＝＝≈0.465 1， 由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小； 【说明】P(Ai)(i＝1，2，…，n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识，当有了新的信息(知道B发生)，人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化； 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第八章 成对数据的统计分析》同步配套分层练习-2024-2025学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020）选择性必修第二册 【原卷版】 7.1.2 全概率公式；*7.2.3 贝叶斯公式 【附录】相关考点 考点一 全概率公式 一般地，设Ω1，Ω2，…，Ωn是一组两两互斥的事件，Ω1∪Ω2∪…∪Ωn＝Ω，且P(Ωi)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω， 有P(B)＝P(Ωi)P(B|Ωi)，我们称上面的公式为全概率公式； 考点二 *贝叶斯公式 *贝叶斯公式：设Ω1，Ω2，…，Ωn是一组两两互斥的事件，Ω1∪Ω2∪…∪Ωn＝Ω，且P(Ωi)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ωi|B)＝＝，i＝1,2，…，n. 说明： 1、全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率运算，即运用了“化整为零”的思想处理问题； 2、全概率公式与贝叶斯公式的联系与区别是什么？ 【解析】两者的最大不同是处理的对象不同，其中全概率公式用来计算复杂事件的概率，而贝叶斯公式是用来计算简单条件下发生的复杂事件的概率，也就是说，全概率公式是计算普通概率的，贝叶斯公式是用来计算条件概率的. 3、概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式和贝叶斯公式正好起到了这样的作用； 【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容； 1、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率为（ ） A． B． C． D． 2、已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假设男人、女人各占一半，现随机地挑选一人，则此人恰是色盲的概率为（ ） A．0.012 45 B．0.057 86 C．0.026 25 D．0.028 65 3、某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（ ） A．0.6 B．0.85 C．0.868 D．0.88 4、播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15,0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为(　　) A．0.8 B．0.532 C．0.482 5 D．0.312 5 【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题； 5、有两箱同一种产品，第一箱内装50件，其中10件优质品，第二箱内30件，其中18件优质品，现在随意地打开一箱，然后从箱中随意取出一件，则取到的是优质品的概率是________． 6、盒子中有大小形状相同的7个小球，其中有4个白球，3个黑球，先随机从盒子中取出两个小球，再从该盒中取出一个小球，则最后取出的小球为白球的概率是________． 7、设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率． 8、设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%,35%,40%，它们的次品率依次为5%,4%,2%.现从这批工件中任取一件． （1）求取到次品的概率； （2）已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率．(精确到0.01) 【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。 9、设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份，7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生报名表的概率为（ ） A． B． C． D． 10、学校有a，b两个餐厅，如果王同学早餐在a餐厅用餐，那么他午餐也在a餐厅用餐的概率是；如果他早餐在b餐厅用餐，那么他午餐在a餐厅用餐的概率是.若王同学早餐在a餐厅用餐的概率是，那么他午餐在a餐厅用餐的概率是________． 11、鲜花饼是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表，鲜花饼的保质期一般在三至四天．据统计，某超市一天鲜花饼卖出2箱的概率为，卖出1箱的概率为，没有卖出的概率为，假设第一天该超市开始营业时货架上有3箱鲜花饼，为了保证顾客能够买到新鲜的鲜花饼，该超市规定当天结束营业后检查货架上存货，若卖出2箱，则需补货至3箱，否则不补货． （1）在第一天结束营业后货架上有2箱鲜花饼的条件下，求第二天结束营业时货架上有1箱鲜花饼的概率； （2）求第二天结束营业时货架上有1箱鲜花饼的概率． 12、同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数按2∶3∶5的比例混合在一起． （1）从中任取一件，求此产品为正品的概率； （2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？ 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$