第3章 4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第一册作业与测评word（北师大版2019）

4．2　用向量方法研究立体几何中的位置关系 知识点一　利用直线的方向向量、平面的法向量判断线、面位置关系 1．设a，b分别是两条不重合的直线l1，l2的方向向量，判断l1，l2的位置关系． (1)a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)； (2)a＝(5，0，2)，b＝(0，4，0)； (3)a＝(－2，1，4)，b＝(6，3，3)． 解　(1)因为a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)，所以b＝－3a，所以b∥a，即l1∥l2. (2)因为a＝(5，0，2)，b＝(0，4，0)，所以a·b＝0，所以a⊥b，即l1⊥l2. (3)因为a＝(－2，1，4)，b＝(6，3，3)，所以a与b不共线也不垂直，所以l1，l2的位置关系是相交或异面(不垂直)． 2．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系． (1)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(2，－1，1)，u＝(－4，2，－2)； (2)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(2，3，5)，u＝(－2，3，－1)； (3)平面α，β的法向量分别是u＝(1，3，0)，v＝(－3，－9，0)； (4)平面α，β的法向量分别是u＝(1，－1，2)，v＝. 解　(1)∵a＝(2，－1，1)，u＝(－4，2，－2)， ∴u＝－2a，∴a∥u，故l⊥α. (2)∵a＝(2，3，5)，u＝(－2，3，－1)， ∴a·u＝－4＋9－5＝0， ∴a⊥u，即l∥α或l在α内． (3)∵u＝(1，3，0)，v＝(－3，－9，0)， ∴v＝－3u， ∴v∥u，即α∥β或α与β重合． (4)∵u＝(1，－1，2)，v＝， ∴u·v＝3－2－1＝0， ∴u⊥v，即α⊥β. 知识点二　向量法解决立体几何中的平行问题 3．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝.则VA与平面PMN的位置关系是________． 答案　平行 解析　如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a＋c－b，由题意知＝b－c，＝－＝a－b＋c.因此＝＋，所以，，共面．又VA⊄平面PMN，所以VA∥平面PMN. 4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS. 证明　如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A－xyz，则根据题意得M，N(0，2，2)，R(3，2，0)，S.∴＝，＝，∴＝.∴∥.∵M∉RS，∴MN∥RS. 5.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点．求证：平面AMN∥平面EFBD. 证明　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，N(4，2，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，则＝(－2，0，4)，＝(0，2，4)，＝(－4，－2，4)，＝(－2，0，4)． 设平面AMN，平面EFBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)， 则由得 令z1＝1，得n1＝(2，－2，1)． 由得 令z2＝1，得n2＝(2，－2，1)． ∵n1∥n2，∴平面AMN∥平面EFBD. 知识点三　向量法解决立体几何中的垂直问题 6.如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA. 证明　如图，连接OP，OQ，PQ，以O为坐标原点，OA，OC所在直线分别为x轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz(如图所示)． 则A(1，0，0)，C(0，0，1)，B. ∵P为AC的中点，∴P. ∴＝， 又由已知可得＝＝. 又＝＋＝， ∴＝－＝. ∵·＝0，∴⊥，即PQ⊥OA. 7.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝a，E，F分别是BB1，CC1上的点，且BE＝a，CF＝2a.求证：平面AEF⊥平面ACF. 证明　以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设a＝2， 则A(0，0，0)，E(，1，2)，F(0，2，4)， ∴＝(，1，2)，＝(0，2，4)． ∵x轴⊥平面ACF，∴可取平面ACF的一个法向量为m＝(1，0，0)． 设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 取z＝1，得n＝(0，－2，1)． ∵m·n＝0，∴m⊥n，∴平面AEF⊥平面ACF. 8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P，使B1D⊥平面PAC? 解　以D为原点建立空间直角坐标系，如图，设存