第3章 4. 1 直线的方向向量与平面的法向量-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第一册作业与测评word（北师大版2019）

§4　向量在立体几何中的应用 4．1　直线的方向向量与平面的法向量 知识点一　求直线的方向向量 1．[多选]已知一直线经过点A(2，3，2)，B(－1，0，5)，下列向量中是该直线的方向向量的是(　　) A．a＝(1，1，1) B．a＝(－1，－1，1) C．a＝(－3，－3，3) D．a＝(1，1，－1) 答案　BCD 解析　由题知，＝(－3，－3，3)，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，故选BCD. 2.如图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间向量的一组基，求直线EF的一个方向向量． 解　＝＋＋＝(－)－＋＝－－＝a－b－c. 故直线EF的一个方向向量为a－b－c. 知识点二　直线的方向向量的应用 3．已知点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点，且＝，则点C的坐标为(　　) A．(，－，) B．(，－3，2) C．(，－1，) D．(，－，) 答案　C 解析　∵C在线段AB上，∴∥，∴设C(x，y，z)，则由＝，得(x－4，y－1，z－3)＝(2－4，－5－1，1－3)， 即解得故选C. 4．若△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长为(　　) A．5 B. C．4 D．2 答案　A 解析　设＝λ，又＝(0，4，－3)，则＝(0，4λ，－3λ)．又＝(－4，5，0)，∴＝＋＝(－4，4λ＋5，－3λ)．由·＝0，得4(4λ＋5)＋9λ＝0，解得λ＝－，∴＝，∴||＝5.故选A. 5．若向量a＝(x，2，1)，b＝(1，y，3)都是直线l的方向向量，则x＋y＝________． 答案　 解析　根据题意可知a∥b，故存在实数λ，使a＝λb，即(x，2，1)＝λ(1，y，3)，即解得所以x＋y＝＋6＝. 知识点三　求平面的法向量 6．过点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)的平面的一个法向量为________． 答案　(1，1，1)(答案不唯一) 解析　设平面的一个法向量为n＝(x，y，1)，由得∴∴n＝(1，1，1)． 7.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． 解　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直． 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，D(0，，0)，E，B(1，0，0)，C(1，，0)，于是＝，＝(1，，0)． 设n＝(x，y，z)为平面ACE的一个法向量，则 即 所以 令y＝－1，则x＝z＝. 所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)． 知识点四　平面的法向量的应用 8．[多选]已知平面α内有一点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝，则下列四个点中在平面α内的是(　　) A．P1(1，－1，1) B．P2 C．P3 D．P4 答案　BC 解析　对于A，＝(1，0，1)，·n＝≠0，排除A；同理可排除D；对于B，＝，∴·n＝0；对于C，＝(0，－2，1)，∴·n＝0.故选BC. 9．在空间直角坐标系O－xyz中，已知平面α的一个法向量是n＝(1，－1，2)，且平面α过点A(0，3，1)，则平面α的方程是________． 答案　x－y＋2z＋1＝0 解析　设P(x，y，z)是平面α上任意一点，由题意知·n＝0，即x－y＋2z＋1＝0. 10.在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，F是PB的中点．在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 解　存在．理由如下： 由题意知，DA，DC，DP两两垂直． 如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a， 则D(0，0，0)，C(0，a，0)，P(0，0，a)，B(a，a，0)，F，假设存在满足条件的点G， 设G(x，0，z)，则＝， 又＝(a，0，0)，＝(0，－a，a)， 若GF⊥平面PCB，则·＝·(a，0，0)＝a＝0，得x＝. ·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，得z＝0， 所以点G的坐标为. 故存在满足条件的点G，且点G的坐标为. 一、选择题 1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与C1，C重合的任一点，则不能作为直线AA1的方向向量的是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合，则这个向量就是