第3章 3.2 空间向量运算的坐标表示及应用-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第一册作业与测评word（北师大版2019）

3．2　空间向量运算的坐标表示及应用 知识点一　空间向量运算的坐标表示 1．已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则a－b＋2c＝(　　) A．(－9，－3，0) B．(0，2，－1) C．(9，3，0) D．(9，0，0) 答案　C 解析　a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋(6，2，0)＝(3，1，0)＋(6，2，0)＝(9，3，0)．故选C. 2．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________． 答案　2 解析　据题意，有c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2. 3．已知点A(－1，3，1)，B(－1，3，4)，若＝2，则点P的坐标是________． 答案　(－1，3，3) 解析　解法一：设点P(x，y，z)，则由＝2，得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)，则解得即P(－1，3，3)． 解法二：设点O为坐标原点，∵＝2，∴－＝2(－)，∴3＝＋2，∴＝＋＝(－1，3，1)＋(－1，3，4)＝＋＝(－1，3，3)，即P(－1，3，3)． 知识点二　空间向量平行(共线)和垂直的条件 4．已知a＝(1，5，－2)，b＝(m，2，m＋1)，若a⊥b，则m的值为(　　) A．－6 B．6 C．－8 D．8 答案　D 解析　因为a⊥b，所以1×m＋5×2－2(m＋1)＝0，解得m＝8. 5．若a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，且a与b为共线向量，则(　　) A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－ C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝ 答案　C 解析　因为a与b共线，所以＝＝，所以x＝，y＝－.故选C. 6．已知A(λ＋1，μ－1，3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＋μ＝________． 答案　0 解析　因为＝(λ－1，1，λ－2μ－3)，＝(2，－2，6)，若A，B，C三点共线，则∥，即＝－＝，解得λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0. 知识点三　空间向量长度与夹角的坐标表示 7．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________． 答案　120° 解析　(2a＋b)·c＝0×1＋(－5)×(－2)＋10×(－2)＝－10，即2a·c＋b·c＝－10.又a·c＝4，∴b·c＝－18，又|c|＝3，|b|＝12，∴cos〈b，c〉＝＝－.∵0°≤〈b，c〉≤180°，∴〈b，c〉＝120°. 8．已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为________． 答案　 解析　∵a－b＝(1－t，1－t，t)－(2，t，t)＝(－1－t，1－2t，0)，∴|a－b|2＝(－1－t)2＋(1－2t)2＝5t2－2t＋2.当t＝时，|a－b|2取最小值为－＋2＝，∴|a－b|的最小值为. 9．单位向量a＝(x，y，0)与向量c＝(1，1，1)的夹角为，求： (1)x＋y的值； (2)xy的值． 解　(1)∵a与c的夹角为， ∴cos＝＝ ＝＝， 即2(x＋y)＝. ∵|a|2＝x2＋y2＝1，∴x＋y＝. (2)由(1)知，(x＋y)2＝， 即x2＋2xy＋y2＝， 又x2＋y2＝1，∴xy＝. 10.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F，G分别为AB，SC，SD的中点．若AB＝a，SD＝b. (1)求||； (2)求cos〈，〉． 解　如图，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(a，0，0)，S(0，0，b)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，F，G，＝，＝，＝(－a，0，0)． (1)||＝＝. (2)cos〈，〉＝＝＝. 一、选择题 1．下列说法中不正确的是(　　) A．只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间向量的一组标准正交基 B．竖坐标为0的非零向量平行于x轴与y轴所确定的平面 C．纵坐标为0的向量都共面 D．横坐标为0的向量都与x轴上的基向量垂直 答案　A 解析　标准正交基除要求模为1外，还要求三个向量两两垂直．故选A. 2.如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，·的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　B 解析　以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，D(0，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，故＝(1，0，0)，＝(－1，－1，1)，则·＝－1.故选B. 3．已知向