第3章 2 空间向量与向量运算-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第一册作业与测评word（北师大版2019）

§2　空间向量与向量运算 2．1　从平面向量到空间向量 2．2　空间向量的运算 第1课时　空间向量及其加减、数乘运算 知识点一　空间向量的概念 1．下列说法中错误的是(　　) A．向量与的长度相等 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 答案　D 解析　共线的单位向量是相等向量或相反向量． 2．下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是(　　) A．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等 B．零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等 C．零向量的长度为0，单位向量不一定是相等向量 D．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同 答案　C 解析　零向量的方向是任意的，且长度为0，所有单位向量的模都相等，但方向不一定相同．故选C. 3．[多选]下列说法正确的是(　　) A．若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件 B．若a＝b，b＝c，则a＝c C．向量a，b相等的充要条件是 D.＝的充要条件是A与C重合，B与D重合 答案　AB 解析　A正确，∵＝，∴||＝||且∥.又A，B，C，D不共线，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，在▱ABCD中，有＝；B正确，∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，故a＝c；C不正确，由a∥b，知a与b的方向相同或相反；D显然不正确．故选AB. 4.如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求： (1)与相等的向量； (2)与相反的向量； (3)与平行的向量． 解　(1)与相等的向量为，，. (2)与相反的向量为，. (3)与平行的向量为，，. 知识点二　空间向量的加减运算 5．在空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a＋b＋c B．c－a－b C．a－b－c D．b－a＋c 答案　B 解析　如图所示，＝＋＝＋＋＝－b－a＋c.故选B. 6.[多选]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　) A.－－ B.＋－ C.－－ D.－＋ 答案　AB 解析　对于A，－－＝－＝；对于B，＋－＝＋＝；对于C，－－＝－＝－＝≠；对于D，－＋＝＋＋＝＋≠.故选AB. 知识点三　空间向量的数乘运算 7.如图所示空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于(　　) A. B．3 C．3 D．2 答案　B 解析　－＋＝－(－)＝－＝＋＝＋2＝3.故选B. 8．在三棱锥O－ABC中，M是OA的中点，P是△ABC的重心．设a＝，b＝，c＝，则＝(　　) A.a－b＋c B.a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c 答案　C 解析　如图，取AB的中点D，连接CD，MC，MP，OD，在△MCP中，＝＋＝(－)＋＝＋(－)＝＋－c＝＋×(＋)－c＝c－a＋(a＋b)－c＝－a＋b＋c.故选C. 9．已知四面体ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________． 答案　3a－b＋3c 解析　连接BE，EF，∵＝(＋)＝(－＋)，＝＝(－)＝(＋)，∴＝－＝(＋)－(－＋)＝(＋)＝(5a－5b＋8c＋a－2c)＝(6a－5b＋6c)＝3a－b＋3c. 知识点四　共线向量基本定理的应用 10．设空间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　) A．点P一定在直线AB上 B．点P一定不在直线AB上 C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上 D.与的方向一定相同 答案　A 解析　已知m＋n＝1，则m＝1－n，所以＝(1－n)＋n＝－n＋n⇒－＝n(－)⇒＝n.因为≠0，所以和共线，即A，P，B三点共线．故选A. 11．如图，已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线． 证明　设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＝＋＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c， ＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c＝，∴∥. 又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线． 一、选择题 1．以下说法正确的是(　　) A．方向相反的两个向量是相反向量 B．若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b C．不相等的两个空间向量的模必不相等 D．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b| 答案　D 解析　长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故A错误；向量是不能比较大小的，故B错误；不相等的两个空间向量的模也可以相等，故C错误；由向量加法的几何意义可知D正确．故选D. 2．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(