第2章 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第一册作业与测评word（北师大版2019）

4．2　直线与圆锥曲线的综合问题 知识点一　弦长及中点弦问题 1．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________． 答案　 解析　由消去y并化简得x2＋2x－6＝0.设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.∴弦长|MN|＝·|x1－x2| ＝＝＝. 2．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝(　　) A. B．6 C．12 D．7 答案　C 解析　抛物线C：y2＝3x的焦点为F，所以AB所在的直线方程为y＝，将y＝代入y2＝3x，消去y整理得x2－x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝，由抛物线的定义可得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12. 3．过点(0，－2)的直线与抛物线y2＝8x交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|＝(　　) A．2 B. C．2 D. 答案　C 解析　由题意得直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0.∵直线与抛物线交于A，B两点，∴k2≠0且Δ＝16(k＋2)2－16k2＞0，即k＞－1且k≠0.又＝＝2，∴k＝2或k＝－1(舍去)．∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝＝2. 4．已知双曲线x2－＝1，过点P(2，1)作一直线交双曲线于A，B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为__________． 答案　6 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程，得 ①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＝.∵x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，∴4(x1－x2)＝，∴＝6.∴直线AB的斜率为6. 5．过双曲线－＝1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为，这样的直线有________条． 答案　1 解析　依题意，得右焦点F(5，0)，所以过F且垂直于x轴的直线的方程是x＝5，代入－＝1，得y＝±，所以此时弦长为×2＝.当该直线不垂直于x轴时，分两种情况：①如果直线与双曲线的右支有两个交点，则弦长一定比长；②直线与双曲线交于左、右两支时，因为两顶点间距离为4，即左、右两支上的点的最短距离是4，此时弦长不可能为，故只有一条符合要求的直线． 知识点二　定点与定值问题 6．[多选]过抛物线C：y2＝2px上一点A(1，－4)作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M，N，则(　　) A．C的准线方程是x＝－4 B．过C的焦点的最短弦长为8 C．直线MN过定点(0，4) D．当点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为2x＋y－38＝0 答案　AD 解析　将A(1，－4)代入C：y2＝2px中得p＝8，则C的方程为y2＝16x，所以C的准线方程是x＝－4，故A正确；当过C的焦点且与x轴垂直时弦长最短，此时弦长为16，故B不正确；设M，N，直线MN的方程为x＝my＋n，联立抛物线得y2－16my－16n＝0，所以y1＋y2＝16m，y1y2＝－16n，又AM⊥AN，所以·＝·＝＋(y1＋4)(y2＋4)＝0.因为y1≠－4，y2≠－4，即(y1＋4)(y2＋4)≠0，所以＋1＝0，整理得y1y2－4(y1＋y2)＋272＝0，故－16n－64m＋272＝0，得n＝－4m＋17，所以直线MN的方程为x＝m(y－4)＋17，所以直线MN过定点P(17，4)，故C不正确；当MN⊥AP时，A到直线MN的距离最大，此时直线MN的方程为2x＋y－38＝0，故D正确．故选AD. 7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2，0)，离心率e＝，右焦点为F. (1)求椭圆C的方程； (2)过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于点P，若＝m，＝n，求证：m＋n为定值． 解　(1)∵椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2，0)，∴a＝2. 又e＝，∴c＝1，则b＝＝. ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)证法一：由题意知F(1，0)，直线AB的斜率存在， 设其方程为y＝k(x－1)，则P(0，－k)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠1，x2≠1. 由＝m，得(x1，y1＋k)＝m(1－x1，－y1)， ∴m＝. 由＝n，得(x2，y2＋k)＝n(1－x2，－y2)， ∴n＝. 联立 得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 显然Δ>0. ∴x1＋x2＝，x1x2＝. 故m＋n＝＋ ＝ ＝＝－＝－. 证法二：由题意知F(1，0)，m≠－1，n≠－1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，y0)， 由＝m，得(x1，y1－y0)＝m(1－x1，－y1)， ∴x1＝，y1＝，故A. ∵点A在椭圆C：＋＝1上， ∴＋＝1