第2章 4.1 直线与圆锥曲线的交点-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第一册作业与测评word（北师大版2019）

§4　直线与圆锥曲线的位置关系 4．1　直线与圆锥曲线的交点 知识点一　直线与椭圆的交点问题 1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆(　　) A．有两个公共点 B．有且只有一个公共点 C．没有公共点 D．有一个或两个公共点 答案　C 解析　把x＋y－3＝0代入＋y2＝1得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，∴直线与椭圆没有公共点．故选C. 2．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1有且只有一个公共点，则斜率k的值是(　　) A. B．－ C．± D．± 答案　C 解析　把y＝kx＋2代入＋＝1，得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以Δ＝(12k)2－4(3k2＋2)×6＝0，解得k＝±.故选C. 3．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的公共点的个数为(　　) A．2 B．1 C．0 D．不确定 答案　A 解析　直线y＝kx－k＋1可变形为y－1＝k(x－1)，故直线恒过定点(1，1)，而该点在椭圆＋＝1的内部，所以直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的公共点的个数为2.故选A. 4．已知椭圆C：＋＝1， (1)已知点A是椭圆C的左顶点，过点A作斜率为1的直线m，求直线m与椭圆C的另一个交点B的坐标； (2)已知点M(0，2)，P是椭圆C上的动点，求|PM|的最大值及相应点P的坐标． 解　(1)因为直线m过椭圆的左顶点A，且斜率为1， 所以直线m的方程为y＝x＋2， 联立方程组 消去y整理得3x2＋8x＋4＝0， (x＋2)(3x＋2)＝0，x1＝－2，x2＝－， 所以点B的坐标为. (2)设P(x0，y0)， 因为P是椭圆C上的动点， 所以＋＝1，x＝4－2y， 因为M(0，2)， 所以|PM|＝ ＝ ＝ ＝， 因为－≤y0≤， 所以当y0＝－时，|PM|取最大值3，此时点P的坐标为(0，－)． 知识点二　直线与抛物线的交点问题 5．过点(2，4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案　B 解析　由题意知，点(2，4)在抛物线y2＝8x上，所以过点(2，4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．故选B. 6．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则(　　) A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点 答案　C 解析　∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过点(1，0)．又点(1，0)在抛物线y2＝2px(p>0)的内部，∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．故选C. 7．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　) A．[－，] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4] 答案　C 解析　准线方程为x＝－2，Q(－2，0)，设l：y＝k(x＋2)，由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.当k＝0时，x＝0，即交点为(0，0)； 当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k＜0或0＜k≤1.综上，k的取值范围是[－1，1]． 知识点三　直线与双曲线的交点问题 8．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　B 解析　由双曲线的方程知，点P(1，0)为双曲线的一个顶点，过点P(1，0)有一条直线l与双曲线相切，有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线只有一个公共点．故选B. 9．设离心率为e的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是(　　) A．k2－e2>1 B．k2－e2<1 C．e2－k2>1 D．e2－k2<1 答案　C 解析　直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是直线l的斜率满足－<k<，即k2<＝＝e2－1，即e2－k2>1. 10．已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试分别确定满足下列条件的实数k的取值范围． (1)直线l与双曲线有两个不同的公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 解　联立消去y， 得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)． (1)由 得－<k<且k≠±1， 此时方程(*)有两个