第2章 1.1 椭圆及其标准方程-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第一册作业与测评word（北师大版2019）

第二章　圆锥曲线 §1　椭圆 1．1　椭圆及其标准方程 知识点一　椭圆的定义 1．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为(　　) A．16 B．18 C．20 D．不确定 答案　B 解析　∵a＝5，b＝3，∴c＝4.又|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，|F1F2|＝2c＝8，∴△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝10＋8＝18.故选B. 2．[多选]已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法正确的是(　　) A．当a＝2时，点P的轨迹不存在 B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 答案　AC 解析　当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB，D错误．故选AC. 3．已知椭圆＋＝1上一点M到左焦点F1的距离为6，N是MF1的中点，则|ON|＝________． 答案　2 解析　设右焦点为F2，连接F2M，∵O为F1F2的中点，N是MF1的中点，∴|ON|＝|MF2|.又|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝6，∴|MF2|＝4，∴|ON|＝2. 4．求过点P(3，0)且与圆x2＋6x＋y2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程． 解　易知点P在圆内， 由x2＋6x＋y2－91＝0得(x＋3)2＋y2＝102， 圆心为C1(－3，0)，半径R＝10. 设动圆的圆心为C(x，y)，半径为r， 依题意有 消去r得|PC|＋|CC1|＝R，即|PC|＋|CC1|＝10. 因为P(3，0)，C1(－3，0)，且|PC1|＝6<10， 所以点C的轨迹是以P，C1为焦点的椭圆， 所以c＝3，2a＝10，所以a＝5，从而b＝4， 故所求动圆圆心的轨迹方程为＋＝1. 知识点二　求椭圆的标准方程 5．若椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0，2)，则k＝(　　) A．－1 B．1 C. D．－ 答案　B 解析　由椭圆方程5x2＋ky2＝5，得x2＋＝1.因为焦点(0，2)在y轴上，所以a2＝，b2＝1，c2＝a2－b2＝－1＝4，解得k＝1.故选B. 6．写出满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)a＝5，c＝2； (2)经过P1(，1)，P2(－，－)两点； (3)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)． 解　(1)由b2＝a2－c2得b2＝25－4＝21. 所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (2)解法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)． 由已知，得⇒ 所求椭圆的标准方程是＋＝1. ②当焦点在y轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， 由已知，得⇒ 与a>b>0矛盾，此种情况不存在． 综上，所求椭圆的标准方程是＋＝1. 解法二：由已知，设椭圆的方程是Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)， 故⇒ 即所求椭圆的标准方程是＋＝1. (3)解法一：方程9x2＋5y2＝45可化为＋＝1， 则焦点是F1(0，2)，F2(0，－2)． 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， ∵点M在椭圆上， ∴2a＝|MF1|＋|MF2| ＝＋ ＝(2－)＋(2＋)＝4， ∴a＝2，即a2＝12， ∴b2＝a2－c2＝12－4＝8， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 解法二：由题意，知焦点F1(0，2)，F2(0，－2)， 设所求椭圆方程为＋＝1(λ>0)， 将x＝2，y＝代入，得＋＝1， 解得λ＝8或λ＝－2(舍去)． 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 7．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点．椭圆C上一点(，)到两焦点F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的标准方程和焦点坐标． 解　由点(，)在椭圆上，得＋＝1， 又2a＝4，所以a2＝4，b2＝3， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1，焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1，0)． 知识点三　椭圆标准方程的应用 8．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(0，2) C．(1，＋∞) D．(0，1) 答案　D 解析　方程x2＋ky2＝2可化为＋＝1，若焦点在y轴上，则必有＞2，且k＞0，即0＜k＜1.故选D. 9．设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，由椭圆＋＝1，得a＝3，b＝，c＝＝2