第2章 1.1 椭圆及其标准方程（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．椭圆＋＝1上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离为(　　) A．4　　　　　　　 B．6 C．8 D．2 解析　设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，不妨令|MF1|＝4，由|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，得|MF2|＝10－|MF1|＝10－4＝6. 答案　B 2．已知(0，－4)是椭圆3kx2＋ky2＝1的一个焦点，则实数k＝(　　) A．6 B． C．24 D． 解析　∵3kx2＋ky2＝1，∴＋＝1.又∵(0，－4)是椭圆的一个焦点，∴a2＝，b2＝， c2＝a2－b2＝－＝＝16，∴k＝. 答案　D 3．对于常数m，n，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由mn＞0，得或 由方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆，得故“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件． 答案　B 4．焦距为2，且过点P(－，0)的椭圆的标准方程为________． 解析　由题意，2c＝2，c＝1. 又椭圆过点P(－，0)． 若焦点在x轴上，则a＝， 则b2＝a2－c2＝4，椭圆方程为＋＝1； 若焦点在y轴上，则b＝， 则a2＝b2＋c2＝6，椭圆方程为＋＝1， ∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 答案　＋＝1或＋＝1 5．过(－3,2)点且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆方程为________． 解析　与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆可设为＋＝1且k＜4，将(－3,2)代入得k＝－6. 答案　＋＝1 6．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)； (2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2. 解析　(1)∵椭圆的焦点在x轴上，∴可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． ∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)， ∴∴ 故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1. (2)∵椭圆的焦点在y轴上， ∴可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． ∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10. 又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c－(－10)＝2，故c＝8，∴b2＝a2－c2＝36. ∴所求椭圆的标准方程是＋＝1. [关键能力·综合提升] 7．(多选)F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A是椭圆上一点，△AF1F2是直角三角形，则△AF1F2的面积为(　　) A．9 B． C．4 D．5 解析　由＋＝1得|F1F2|＝8， 当AF1⊥AF2时，则 ①平方减去②得|AF1|·|AF2|＝18， ∴＝×|AF1|·|AF2|＝9， 当AF1⊥F1F2(或者AF2⊥F1F2)时，|AF1|＝＝， ＝××8＝. 故选AB． 答案　AB 8．(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2＝，则|OP|＝(　　) A． B． C． D． 解析　解法一　设∠F1PF2＝2θ，0<θ<，所以＝b2tan ＝b2tan θ， 由cos∠F1PF2＝cos 2θ＝＝＝，解得tan θ＝， 由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3， 所以，＝××＝×2×＝6×，解得y＝3， 即x＝9×＝，因此＝＝＝. 解法二　因为＋＝2a＝6①，2＋2－2cos∠F1PF2＝2， 即2＋2－＝12②，联立①②， 解得＝，2＋2＝21， 而＝，所以＝＝， 即＝＝ ＝ ＝. 解法三　因为＋＝2a＝6①，2＋2－2cos∠F1PF2＝2， 即2＋2－＝12②，联立①②，解得2＋2＝21， 由中线定理可知，2＋2＝2＝42，易知＝2，解得＝. 答案　B 9．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________． 解析　由题意可得切点A(1,0)． 切点B(m，n)满足解得B. ∴过切点A，B的直线方程为2x＋y－2＝0. 令y＝0得x＝1，即c＝1； 令x＝0得y＝2，即b＝2.∴a2＝b2＋c2＝5， ∴椭圆方程为＋＝1. 答案　＋＝1 10．已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点. (1)求椭圆M的标准方程； (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标． 解析　(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)． 设椭圆M的方程为＋＝1(a＞b＞0)， 则 化简并整理得5b4＋11b2－16＝0， 解得b2＝1或b2＝－(舍去)， 所以a2＝5，故椭圆M的标准方程为＋y2＝1. (2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)， 设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，所以y0＝±. 又＋y＝1，所以x＝，解得x0＝±，所以满足条件的点P有4个，它们的坐标分别为，，，. [核心价值·探索创新] 11．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点M，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，|F1F2|＝2，P是椭圆C上的一个动点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点P在第一象限，且·≤，求点P的横坐标的取值范围． 解析　(1)∵椭圆＋＝1(a＞b＞0)， 经过点M，F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|＝2， ∴解得 ∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)设P(x，y)(x＞0，y＞0)，F1(－，0)，F2(，0)， 则＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)， ∴·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3，又＋y2＝1，即y2＝1－， ∴·＝x2＋y2－3＝x2＋1－－3＝(3x2－8)≤，解得－≤x≤， ∵x＞0，∴0＜x≤， ∴点P的横坐标的取值范围是(0， ]． 学科网（北京）股份有限公司 $$