第五单元 平面向量与复数检测（能力卷）-2024年新高考数学一轮复习考点逐点突破经典学案（新高考专用）

第五单元 平面向量与复数检测（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 若复数z＝＋1为纯虚数，则实数a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 2. 已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，＝(2，4)，＝(1，3)，若点E满足＝3，则点E的坐标为(　　) A． B． C． D． 3. 已知O是正方形ABCD的中心．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则＝(　　) A．－2 B．－ C．－ D． 4. 如图， 在△ABC中，＝2，P是线段BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为(　　) A. B. C. D. 5. 设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝(　　) A．1＋i B．＋i C．1＋i D．1＋i 6. 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A＝60°，O为△ABC的外心.若＝x＋y，x，y∈R，则2x＋3y＝(　　) A.2 B. C. D. 7. 如图，原点O是△ABC内一点，顶点A在x轴上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，||＝2，||＝1，||＝3，若＝λ＋μ，则＝(　　) A.－ B. C.－ D. 8. 已知在Rt△ABC中，A＝，AB＝3，AC＝4，P为BC上任意一点(含B，C)，以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设＝a＋b，则a＋b的最大值为(　　) A. B． C. D． 二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9. 已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　) A．－2 B． C．1 D．－1 10. 在复平面内，下列命题是真命题的是(　　) A．若复数z满足∈R，则z∈R B．若复数z满足z2∈R，则z∈R C．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2 D．若复数z∈R，则∈R 11. 设a，b是不共线的两个平面向量，已知＝a＋sin α·b，其中α∈(0，2π)，＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为(　　) A． B． C． D． 12. 已知向量e1，e2是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当＝xe1＋ye2时，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，关于下列命题正确的是(　　) A．线段AB的中点的广义坐标为 B．A，B两点间的距离为 C．向量平行于向量的充要条件是x1y2＝x2y1 D．向量垂直于的充要条件是x1x2＋y1y2＝0 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13. 设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积的比值是________． 14. 若虚数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，则的最大值是________． 15. 在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则实数t的值为________. 16. 如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点．动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若＝x＋y，则x＋y的取值范围是________． 四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17. (10分) 复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值． 18. (12分) 经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，求＋的值． 19. (12分) 已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线． (1)求AD的长度； (2)过点D作直线交AB，AC的延长线于不同两点E，F，且满足＝x，＝y，求＋的值，并说明理由． 20. (12分) 已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)． (1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1. 21. (12分) 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1，2)，又点A(8，0)，B(n，t)，C(ksin θ，t). (1)若⊥a，且||＝||，求向量； (2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsin θ取最大值4时，求·. 22. (12分) 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，