1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题常见的七种题型（基础卷）专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题常见的七种题型（基础卷） 目　录 题型一　异面直线所成角 题型二　直线与平面所成角 题型三　二面角 题型四　点到直线的距离 题型五　点到平面的距离 题型六　空间向量坐标与概念辨析 题型七　综合应用（多选与解答大题） 题型一　异面直线所成角 【解题技巧】异面直线所成角 θ：平移使两直线相交，取方向向量，则，θ∈(0°,90°]。步骤：①建系写坐标；②取两直线方向向量；③算数量积与模长；④取绝对值。注意：正方体/长方体中常用棱向量作方向向量；遇中点用中点坐标；若两直线无交点，平移到公共顶点处取方向向量。 1．已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，正三棱柱的各棱长相等，D为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 3．已知直平行六面体中，，，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 4．在正方体中，M为的中点，N为的中点，则异面直线与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 题型二　直线与平面所成角 【解题技巧】直线与平面所成角 θ：直线方向向量与平面法向量夹角为 φ，则（或其补角），故。步骤：①求平面法向量；②取直线方向向量；③代入公式。注意 θ∈[0°,90°]，直线在平面内时 θ=0°，垂直时 θ=90°。 1．如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2．在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 题型三　二面角 【解题技巧】二面角：①定义法——在棱上取点，在两个半平面内分别作棱的垂线，夹角即二面角平面角；②向量法——求两个面的法向量，则二面角大小等于的夹角或其补角，由图形锐钝判断。。注意：法向量方向指向二面角内部还是外部，决定取夹角还是补角。 1．如图，正方形和正方形的边长都是2，且二面角的大小是，则（   ） A． B． C． D．4 题型四　点到直线的距离 【解题技巧】点 P 到直线 l 的距离：在 l 上任取一点 A，方向向量，则。也可用等面积法：构造三角形，。注意：点到直线距离是垂线段长度，必为非负。 1．如图，是棱长为1的正方体，若点在平面内，且满足，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 2．若、、，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．已知空间中的点，且，则点到的距离为______ 5．已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是_____. 题型五　点到平面的距离 【解题技巧】点 P 到平面 α 的距离：平面法向量，平面上任取一点 A，则。步骤：①求平面法向量；②取平面上一点与 P 连成向量；③数量积取绝对值除以法向量模长。线面距离（线面平行时）转化为直线上一点到平面距离；面面距离转化为一个面上一点到另一平面距离。 1．已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 2．在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．在棱长为1的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到平面的距离是________． 题型六　空间向量坐标与概念辨析 【解题技巧】空间直角坐标系：建系时把原点放在几何体顶点，x/y/z 轴沿三条互相垂直的棱。①向量坐标 = 终点坐标 − 起点坐标；②数量积；③模长；④位置关系：平行 ⇔ 方向向量数乘；垂直 ⇔ 数量积为 0；线面平行 ⇔ 方向向量与法向量垂直；线面垂直 ⇔ 方向向量与法向量平行。命题判断逐项验证。 1．已知向量，，，则三棱锥的体积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．下列命题中正确的是（   ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 D．已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则 3．在空间直角坐标系中，已知， ，则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平直BCD所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C．或 D． 题型七　综合应用（多选与解答大题） 【解题技巧】综合解答题通法：①建系——以垂直交点为原点，沿三条垂线写坐标；②求向量——把所有点坐标写出，目标向量用坐标差表示；③证平行/垂直——用方向向量数乘或数量积为 0；④求角——套异面直线角/线面角/二面角公式；⑤求距离——套点线距/点面距公式；⑥存在性/动点——设参数 t，列方程求解并检验范围。多选题：逐项判断，特殊值法排除，举反证法否定。 1．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 2．如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，.    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离. 3．如图，四棱柱中，底面四边形为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为，且两两夹角为． (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 4．在如图所示的多面体中，四边形是平行四边形，平面，，且，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若不存在，请说明理由；若存在，求线段的长. 5．如图，在底面为矩形的四棱锥中，. (1)证明：平面平面； (2)若异面直线与所成角为，，，求二面角的大小. 6．如图，已知斜三棱柱，底面为等腰直角三角形，，，的中点为，底面． (1)求证：平面； (2)求点到直线的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 7．在正四棱柱中，为的中点． (1)取中点中点，求证：平面． (2)求点到平面的距离． (3)求直线与平面所成角的正弦． 8．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 9．如图，在四棱锥中，平面，，为线段的中点，．    (1)求证：平面； (2)若，点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 10．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 参考答案 题型一　异面直线所成角 1．D 【详解】设，则， ， ， ， ， ，， ， ， 则， ， 设异面直线与的夹角为， 则，故选项D正确. 2．D 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，在平面内， 过点作垂直于的直线为轴，构建如下图示的空间直角坐标系， 设正三棱柱的棱长为2，则，，，， ，，则， 所以异面直线与所成的角为，余弦值为0， 故选：D. 3．A 【详解】解：如图所示：    以为一组基底， 则，， 则， ， ， ， ， ， 以, 故选：A 4．B 【详解】如图，建立空间直角坐标系．    设．则， 因此， 于是所求夹角的余弦值为． 故选：B. 题型二　直线与平面所成角 1．D 【详解】如图，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，所以，，所以， 因为，所以,， 设平面的法向量为， 所以，所以，取，所以平面的一个法向量为， 设与平面所成角为，所以. 2．C 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 取中点，因为是棱的中点，故， 又平面，平面，则平面， 故平面即为平面 ， ， 设平面的一个法向量为，即， 令则，即为平面的一个法向量， 线面角的正弦值为. 故选：C 3．C 【详解】取线段的中点，则，设直三棱柱的棱长为， 以点为原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，，. 所以，. 故选：C. 题型三　二面角 1．A 【详解】因为正方形和正方形，所以， 因为平面平面，二面角的大小是， 所以，因为， 所以， 因为正方形和正方形的边长都是2，所以， 因为，所以， 而， 所以. 故选：A. 题型四　点到直线的距离 1．C 【详解】如图，以点为原点，分别为轴建立空间坐标系， 所以，，，， 则，故， 因为点在平面内，所以四点共面. 由空间向量共面定理可知，解得，所以， 直线的方向向量为，，， 所以点到直线的距离. 2．C 【详解】由题意可得，， 所以点到直线的距离为. 3．C 【详解】因为，， 得到，， 则点到直线的距离为， 故选：C. 4． 【详解】已知点和，，则. 向量在上的投影长度. 根据勾股定理，点到直线的距离. 5． 【详解】取中点为，连接，如下所示： 因为为等腰三角形，又为中点，故； 因为平面，面，故； 又面，故面，又面，故， 故点到直线的距离，即为； 在△中，； 因为平面，面，故，则△为直角三角形； 在△中，，故, 故点到直线的距离为. 故答案为：. 题型五　点到平面的距离 1．B 【详解】由点,得, 所以点到平面的距离为. 故选：B. 2．D 【详解】如图所示，    以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 所以，，，， 则，， 设是平面的一个法向量，则， 令，则， 又， 所以点到平面的距离为， 故选：D. 3． / 【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. 所以，，，， 故，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，， 所以， 所以点到平面的距离为. 题型六　空间向量坐标与概念辨析 1．D 【详解】设平面的法向量为， 则，则， 则点到平面的距离为， 又，， 则点到直线的距离为， 则， 故三棱锥的体积为. 2．C 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A错误， 对于B，由于，故，则或，故B错误， 对于C，若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为，C正确， 对于D，由于，，，四点共面，故，故，D错误， 故选：C 3．C 【详解】依题意可得，，. 设是平面BCD的法向量， 则，即，令，则得. 所以点A到平面BCD的距离， 当时，d取得最小值，此时， 所以直线AE与平面BCD所成角的正弦值为. 故选：C 4．A 【详解】由，，， 所以，即， 所以. 故选：A 题型七　综合应用（多选与解答大题） 1．(1)证明：如图，以为原点，以射线、、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 所以， 所以，故． (2) 【详解】（1）略. （2）因为是的中点，且，，故， 所以，所以， 因为，，且， 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为． 2．(1)； (2). 【详解】（1）    由直三棱柱中，，可如图建立空间直角坐标系， 因为分别是，的中点，， 所以， 即， 所以有， 即异面直线与所成角的余弦值； （2）    设平面的法向量为， 则令可得：， 所以， 即点到平面的距离为. 3．(1) (2)． 【详解】（1）设，，， 由已知得，，，， 又，； （2）由题意结合空间向量的线性运算可得： ，， 则， 所以， 即与夹角的余弦值为． 4．(1) 如图，取的中点，连接，， 因为，， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； (2) (3)存在，1 【详解】（1）略 （2）因为，， 所以，所以， 因为平面，， 所以平面，所以，，两两垂直， 以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则令得，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以， 所以二面角的正弦值为； （3）假设在棱存在点，使得直线与所成角的余弦值为， 设，则，又， 所以，即， 所以，解得或（舍去）， 因此适合条件的点存在，且线段的长为1. 5．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由已知四边形为矩形，得， ∵，，平面， ∴平面. 又，∴平面. ∵平面， ∴平面平面. （2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，，则，，，， 所以，，则，即， 解得或（舍去）. 设是平面的法向量，则， 即，令，则，，所以. 设是平面的法向量，则， 即，令，则，，所以， 所以， 由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为. 6．(1)因为平面，平面，所以， 因为底面为等腰直角三角形，，所以， 又因为，且平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为是的中点，，所以， 又因为，所以是等边三角形， 所以在平行四边形中，四边形为菱形，因此， 又因为，平面，所以平面． (2) (3) 【详解】（1）略 （2）如图所示，以为坐标原点，为轴，为轴， 取中点，以为轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，． 所以，． ， ． 向量在方向上投影的模长：， 因为，所以． 由勾股定理，点到直线的距离： ． （3）斜三棱柱中，所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角．由（1）知是平面的一个法向量，． 设直线与平面所成角为，则． 因为， 且，， 所以． 故直线与平面所成角的正弦值为． 7．(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为，则， 令，解得． 又∵，所以平面． (2) (3) 【详解】（1）略 （2）平面的法向量，， ∴点到平面的距离． （3），平面的法向量， 设直线与平面所成角为则 即直线与平面所成角的正弦值为. 8．(1)因为，分别是，的中点，所以， 又因面，面，所以面. (2) 【详解】（1）略 （2）过点作垂直直线于点，由题目可得为的中点，面， 则以为轴的正方向，以为轴的正方向， 过点作平行于且以为轴的正方向， 则由题可得， 故， 设面的法向量为，则， 即，令， 则解得， 设直线与平面所成角为， 则. 9．(1)作线段中点，因为线段中点，则 且， 又且， 与平行且相等，四边形为平行四边形． ． 平面，平面， 平面． (2) 【详解】（1）略 （2）作线段中点，记为． 由题意，垂直平分，且． 又，∴四边形为矩形，． 平面，且． 则可分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系．    则，可得， 设，可得，， 设平面的法向量为， 因，， 则由，令，则， 设直线与平面所成角为， 可得． 解得或（舍） 所以． 10．(1)证明:底面为矩形， 所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面； (2) 【详解】（1）略； （2）由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 可得， 所以； 因此直线与平面所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $