26 直线与圆锥曲线位置关系（中点弦长问题、垂直角度问题）专题复习讲义-2024届高考数学一轮复习

目录 圆锥曲线与直线的位置关系 2 课前诊断 2 类型一：中点弦问题 6 考点一：平行四边形 6 考点二：中点弦问题之垂直平分线 7 考点三：圆中的弦的中垂线问题 8 考点四：中点弦之单动点的对称问题 9 类型二：垂直角度问题 12 考点一：垂直角度之直径所对的圆周角为直角 12 考点二：垂直角度之角度问题 13 考点三：垂直角度之单动点问题 14 小试牛刀 18 巩固练习 20 圆锥曲线与直线的位置关系 课前诊断 1.分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与相交于两点，且成等差数列，则的长为（ ） A． B．1 C． D． 2.设抛物线的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，又知点P恰为AB的中点，则. 3.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则 A. B. C. D. 4.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则.2 【教学目标】 1. 能够熟练直线和圆锥曲线联立求出韦达定理； 2. 能够理解中点弦问题的垂直角度问题的转化的实质； 3. 能够熟练对这两种方法进行计算 【知识框架】 【知识要点】 设直线方程为，不要设为，因为在椭圆标准方程中会出现. 联立直线与椭圆方程 消去，得即 设,则 一、中点弦问题 1. 中点弦问题：（1）弦；（2）中点。 2. 需要掌握的东西： （1）题型的转化；（2）计算问题：中点公式的值（平行四边形）； 3. 转化问题：（1）线段的垂直平分线； （2）①等腰三角形；② ； （3）圆的弦的中垂线问题； （4）菱形； （5）等边三角形。 4. 计算： （1）平行四边形 （2）； （3）中点公式； 二、垂直角度问题 1. 垂直角度问题的定义：（1）垂直；（2）角度。 2. 需要掌握的东西： （1）题型的转化；（2）计算问题： 的值； 3. 为锐角锐角三角形（为三角形中最大的角） 为直角直角三角形 矩形 以为直径的圆过原点三角形的垂线问题 为钝角钝角三角形 4. 转化问题： （1）垂直问题： （2）角度问题： 5. 垂直与角度常考题型 （1）以为直径的圆过原点 故 两边同时乘以，整体处理得 消去高次项得即找了的关系式. 推广：以为直径的圆过焦点 可以看得出，同样可以采用整体法处理. 【考点分类】 类型一：中点弦问题 考点一：平行四边形 【例1】已知椭圆的中心在原点，短半轴的端点到其右焦点的距离为，过焦点F作直线，交椭圆于两点． （Ⅰ）求这个椭圆的标准方程； （Ⅱ）若椭圆上有一点，使四边形恰好为平行四边形，求直线的斜率． 考点二：中点弦问题之垂直平分线 【例2】已知椭圆C:的左焦点为（-1，0），离心率为，过点的直线与椭圆C交于两点. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、 B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围. 考点三：圆中的弦的中垂线问题 【例1】 已知椭圆的离心率为，一个焦点为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线交椭圆于，两点，若点，都在以点为圆心的圆上，求的值． 考点四：中点弦之单动点的对称问题 【例2】 已知椭圆过点，且离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若椭圆上存在点关于直线对称,求的所有取值构成的集合，并证明对于，的中点恒在一条定直线上. 知识拓展 【例1】★★如图，已知椭圆E: 的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交椭圆E于A,B两点，线段AB的中点为M,直线：交椭圆E于C,D两点. （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）求证：点M在直线上； （Ⅲ）是否存在实数，使得四边形AOBC为平行四边形?若存在求出的值，若不存在说明理由. 【例2】★★★已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点. （Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A为线段BM的中点. 类型二：垂直角度问题 考点一：垂直角度之直径所对的圆周角为直角 【例1】已知是椭圆G：上的两点． （Ⅰ）求椭圆G的离心率； （Ⅱ）已知直线l过点，且与椭圆交于另一点（不同于点），若以为直径的圆经过点，求直线l的方程． 考点二：垂直角度之角度问题 【例1】已知椭圆的离心率为，且过点. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）直线交椭圆于P、Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数的取值范围. 考点三：垂直角度之单动点问题 【例