27 直线与圆锥曲线位置关系（定值、定点问题）专题复习讲义-2024届高考数学一轮复习

目录 圆锥曲线的定值定点问题 2 【知识要点】 3 【考点分类】 4 类型一：定值问题 4 考点一：向量为定值问题 4 考点二：斜率为定值问题 5 考点三：弦长为定值问题 10 考点四：面积为定值问题 13 考点五：定点问题 14 小试牛刀 19 巩固练习 21 圆锥曲线的定值、定点问题 【入门测】 1. 已知椭圆（）过点（0，2），离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设过定点（2，0）的直线与椭圆相交于两点，且为锐角（其中为坐标原点),求直线倾斜角的取值范围. 【教学目标】 1.理解定点和定值问题的转化思想； 2.熟练定值问题的计算 【知识框架】 【知识要点】 1、 定值问题的转化思想 1. 定值问题的转化思想 （1） 向量点乘为定值； （2） 斜率有关的定值： 斜率、斜率的和或是斜率的积 ； （3） 弦长与面积为定值； 2. 需要练习的计算： 2、 定点问题 1. 定点的基本方程： （1）或; （2） 2. 基本题型 （1） 直接法（只有一个未知数）：直接带入， （2） 两个未知数：要证明直线过定点，只需要找到与之间的关系即可 （3） 确定定点，可以证明任意两个斜率相等即可. 【考点分类】 类型一：定值问题 考点一：向量为定值问题 【例1】★★已知抛物线：的焦点为F，且经过点，过点的直线与抛物线交于，两点. （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）为坐标原点，直线，与直线分别交于，两点，试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 考点二：斜率为定值问题 【例2】★★已知椭圆的两个焦点分别为，，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点,设点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【例3】★★已知点和椭圆． （Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为，，试求的周长及椭圆的离心率； （Ⅱ）若直线与椭圆交于两个不同的点，，直线，与轴分别交于，两点，求证：． 【练1】★★已知椭圆的两个焦点分别为，.点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点的坐标为，点的坐标为.过点任作直线与椭圆相交于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，试求满足的关系式. 【练2】★★如图，已知椭圆经过点，离心率. （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）设是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为，，， 求证：，，成等差数列． 知识拓展 【例1】★★★已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交于两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由． 考点三：弦长为定值问题 【例1】★★已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设是椭圆长轴上的一个动点，过作斜率为的直线交椭圆于，两点，求证：为定值． 【例2】★★已知直线与椭圆相交于，两点，是椭圆上一点． （Ⅰ）当时，求△面积的最大值； （Ⅱ）设直线和与轴分别相交于点，，为原点．证明：为定值． 知识拓展 【例1】★★已知椭圆经过点，离心率为．是椭圆上两点，且直线的斜率之积为，为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若射线上的点满足，且与椭圆交于点，求的值． 考点四：面积为定值问题 【例1】★★已知椭圆的右焦点，点在椭圆C上. （I）求椭圆C的标准方程； （II）直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，过原点O作直线l的垂线，垂足为P，如果△OAB的面积为（为实数），求的值. 类型二、定点问题 考点五：定点问题 【例1】★★已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于两点，设点关于轴的对称点为．直线与轴的交点是否为定点？请说明理由． 【例2】★★曲已知曲线C: (Ⅰ)若曲线C是焦点在轴的椭圆，求的范围； (Ⅱ)设，曲线C与轴的交点为A,B（点A位于点B的上方），直线与曲线C交于不同的两点M,N,直线与直线BM交于点G求证：A,G,N三点共线. 【练1】★★已知椭圆过点，离心率为．过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）直线是否过定点？若过定点，求出点的坐标；若不过，请说明理由． 【练2】★★已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，△ 是等腰直角三角形． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点（）． 知识拓展 1、 ★★★已知圆,点为直线上的动点. （Ⅰ）若从到圆的切