2023年全国高中数学联赛北京赛区预赛试题

赛题妙解 2023 中国数学奥林匹克预赛北京赛区预赛一试试题参考解答 2023 年 5 月 21 日 8 : 00 − 9 : 20 前 8 题每题 8 分, 第 9 题 16 分, 第 10, 11 题每题 20 分 题 1 如图 1, ∠ACB = 90◦, AC = BC, AD ⊥ CE, BE ⊥ CE, 垂足分别是 D,E. 已知 AD = 8, BE = 3, 则 DE = . A B C D E 图 1 答案 5. 解析 解: 易知 △ACD CBE. 故 CE = AD = 8, CD = BE = 3. 从而 DE = CE − CD = 5. 第 1页 题 2 S 是集合 {1, 2, · · · , 2023} 的子集, 满足任意两个元素 的平方和不是 9 的倍数, 则 |S| 的最大值是 (这里 |S| 表示 S 的元素个数). 答案 1350. 解析 解: 整数 x 及其平方 x2 模 9 的余数情况如下表: x (mod 9) 0 ±1 ±2 ±3 ±4 x2 (mod 9) 0 1 4 0 7 由此可知, ⌊ 2023 3 ⌋ = 674 个 3 的倍数只能任选 1 个, 其它所有数均可选入. 故 |S|max = 2023− 674 + 1 = 1350. 题 3 已知函数 f (x) = sinωx + sin 2x, 其中 ω ∈ N+, ω ⩽ 2023. 若 f (x) < 2 恒成立, 则满足题设的常数 ω 的个数为 . 答案 1770. 解析 解: 只要考虑 sin 2x = 1 ⇐⇒ x = ( k + 1 4 ) π 时, sinωx = sin ω (4k + 1)π 4 ̸= 1. 只须 ω (4k + 1) ̸≡ 2 (mod 8) ⇐⇒ ω ̸≡ 2 (mod 8). 第 2页 而在 1, 2, · · · , 2023 中模 8 余 2 的数有 253 个, 故所求 数目为 2023− 253 = 1770. 题 4 已知集合 A = {1, 2, 3}, 映射 f : A → A, 且满足对任 意 x ∈ A, 有 f ( f (x) ) ⩾ x, 则这样的 f 有 个. 答案 13. 解析 解: 分情况讨论: (1)当 f (1) = 1 时, =⇒  f (2) = 2 =⇒ f (3) = 3, f (2) = 3 =⇒ f (3) = 2或 3; (2)当 f (1) = 2 时, =⇒  f (2) = 1 =⇒ f (3) = 3, f (2) = 2 =⇒ f (3) = 3, f (2) = 3 =⇒ f (3) = 2或 3; (3)当 f (1) = 3 时, =⇒  f (2) = 1 =⇒ f (3) = 1或 3, f (2) = 2 =⇒ f (3) = 1或 3, f (2) = 3 =⇒ f (3) = 2或 3. 这样的 f 一共有 13 个. 第 3页 题 5 已知向量 |−→a | = 1, ∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2, 且 −→a ,−→b 夹角为 120◦. 若 −→a + t −→ b 与 t−→a + −→ b 的夹角为锐角, 则 t 的取值范围是 . 答案( 5− √ 21 2 , 1 ) ∪ ( 1, 5 + √ 21 2 ) . 解析 解: 由题意, 得 (−→a + t−→b )(t−→a +−→b ) > 0 且 t ̸= 1. 即 t− 1− t2 + 4t > 0 (t ̸= 1) . 解得 5− √ 21 2 < t < 1或 1 < t < 5 + √ 21 2 . 题 6 设实数 x, y 满足  x3 − 3x2 + 2026x = 2023, y3 + 6y2 + 2035y = −4053, 则 x+ y = . 答案 −1. 解析 解: 原方程组变形为 (1− x)3 + 2023 (1− x) = 1, (y + 2)3 + 2023 (y + 2) = 1. 第 4页 由于函数 f (t) = t3 + 2023t 在 R 上单调, 故 y + 2 = 1− x. 即 x+ y = −1. 题 7 已知在 △ABC 中, a = 2b, cosB = 2 √ 2 3 , 则 sin A−B 2 + sin C 2 = . 答案 √ 10 3 . 解析 解: 我们记 sin A 2 := m > 0, cos A 2 := n > 0, sin B 2 := x > 0, cos B 2 := y > 0, 则有 m2 + n2 = 1, x2 + y2 = 1. 所以 sin A−B 2 +