2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛甘肃赛区预赛试题

第 1页，共 3页 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 密 封 线 之 内 不 能 答 题 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- - G S3 14 15 92 6 中南传媒湖南新教材杯 2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛 （甘肃赛区预赛）试题 （考试时间：2023 年 6 月 11 日 9：00－11：30，满分 150 分） 题号 一 11 12 13 14 15 16 总分 得分 评分人 复核人 一、填空题（共 10 小题，每小题 7 分，满分 70 分. 请直接将答案写在题中的横线上） 1.已知 1 2 3z z z， ， 为复数，且满足 1 2 1 2=| | | | 1z z z z   ，则 1 2| |z z  . 2.设集合  2 3 2 0 (A x ax x a a    为非零实数），  22 5 42 0B x x x    ，若 A B A ， 则 a的取值范围是 . 3.在△ ABC中，已知 2 3AB AC BA BC CA CB     uuur uuur uur uuur uur uur ，则 cosC 的最小值是 . 4.袋中装有 m个红球和 n个白球，m>n≥4. 现从中任取两个球，若取出的两个球是同色的概率等 于取出的两个球是异色的概率，则满足关系 m+n≤40的数组(m，n)的个数为 . 5.已知各项均为整数的数列 na 满足 3 1a   ， 7 4a  ，前6项依次成等差数列，从第5项起依 次成等比数列．若正整数m使得 1 2 1 2m m m m m ma a a a a a      ，则 m= . 6.已知点 P为直线 42  yx 上一动点，过点 P作椭圆 44 22  yx 的两条切线，切点为 A、B， 当点 P运动时，直线 AB过定点的坐标为 ． 7.已知函数 2( xf x x e） 与 ( ) 2 xg x xe a  的图象有且只有三个交点，则实数 a的取值范围为 __________. 8.已知 0.1 10.1 , , ln 0.9, 9 a e b c= = = - 则a，b， c的大小关系是 . 9.正四面体 ABCD的底面 BCD中心为 1O AB ， ，以OA为旋转轴将正四面体旋转 090 ，则得 到的四面体与原正四面体重合部分的体积为 . 10.从1,2,3, , 20 中取 k个不同的数构成集合 M，使得集合 M中一定有 4个不同的数 a，b，c， d满足 a b c d   能被 20整除，则 k的最小值为 ． 年 级 市 （ 县 ） 准 考 证 号 学 校 姓 名 性 别 年 级 甘 肃 2 02 3 第 2页，共 3页 二、解答题（共 6小题，满分 80 分. 要求写出解题过程） 11.（13分）已知△ ABC的内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且 3 cos sin 2 A Bb c B  ． （1）求 C 的大小； （2）若 3a b c  ，求sin A． 12.（13分）如图，已知长方形 ABCD中， 2 1AB AD ， ,M为 DC的中点. 将 ADM 沿 AM折起，使得 平面 ADM 平面 ABCM . （1）求证： AD BM ； （2）若点 E是线段DB上的一动点，问点 E在何位置时，二面角 E AM D  的余弦值为 5 5 ． 13.（13分）已知数列 }{ na 中， 1 2a  ，且 2 1 ( )2 n n n aa n N a     ．证明： （1） 2 1 2n n a  ； （2） 1 2 1 2 22 4 4 2 2 2 n n naa a a a a         ．甘 肃 2 02 3 第 3页，共 3页 14.（13分）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈•马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第 1n  次 状态的概率分布只跟第 n次的状态有关，与第 1n  ， 2n  ， 3n  ，…次状态是“没有任何关系的”．现有 甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的 2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交 换，重复