2023年安徽省高一入学实验班选拔考试模拟数学试卷（二）

高一实验班选拔考试模拟试卷（二） 数学试卷 注：本卷共三大题，计17小题，满分150分．考试时间100分钟． 一．填空题：（每小题6分，共10小题，共60分） 1. . 2. 五个互不相等的正偶数的平均数和中位数都是，且六个数 的众数是，平均数还是，则这五个互不相等的正偶数的方差为 . 3. 已知是半径为的圆的一条弦，以为一边在圆内作正，点为圆上不同于点的一点，且(其中为常数，且)，的延长线交圆于点，则的长为 . 4.屯溪一中高一新生某个寝室有四个人，每个人写一张贺卡，集中起来.然后每人从中拿出一张，则拿到的不是自己写的贺卡的概率是 . 5. 不等边的周长为，三边分别为，则的最小值为 . 6. 已知多项式（其中是常数）既是多项式的因式，也是多项式的因式，则当时，的值为 . 7.已知平面直角坐标系中，点列在轴正半轴上，点列在函数的图象上，以点为直角顶点作等腰直角，依次类推，分别作等腰直角，，，则的坐标为 . 8. 由等式， 定义一种对应 ，如：表示 ，对应的是， 记作，那么 . 9.对一切实数，若二次函数的值恒为非负数，则 的最小值是 ． 10.关于的方程给出下列四个命题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数，使得方程恰有3个不同的实根； ③存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； ④存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； ⑤存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；其中正确命题的序号是 ． 二．解答题（每小题10分，共3小题，共30分） 11. 设是实数，求的最小值，并求出取得最小值时所对应的的值. 12. 已知函数，求当时的值. 13.某层大楼共有20层电梯，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第二至第二十层，每层一人，而电梯只允许停一层，只可使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假定乘客每向下走一层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度和为，为使最小，电梯应当停在第几层？说明理由. 三．解答题：（每小题15分，共4小题，共60分） 14. 二次函数的图象是如图所示的抛物线.问在y轴正半轴上是否存在一点，使得对于经过点的抛物线的任意一条弦，总有为定值？证明你的结论. 15.（1）如图1，在中，为直角顶点，，是的角平分线，求的值； （2） 如图2，三棱锥中，，分别是线段上异于端点的两个动点，连，求周长的最小值. 16. 已知是的三边，求证： 17. 如图，过的圆截平行四边形的边和对角线分别于，连接,, （1）求证： （2）求证： 参考答案 一．填空题：（每小题6分，共10小题，共60分） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.①③④⑤ 二．解答题（每小题10分，共3小题，共30分） 11.（10分）解： …………………6分 故当且仅当，即时，取得最小值 …………………10分 12.（10分） 解：由知：，即， …………………3分 代入： …………………8分 ∴ …………………10分 13. （10分) 解：设电梯应该停在第层，则 …………………6分 ， …………………9分 所以当时，取得最小值. …………………10分 14.（12分）解：若存在满足条件的点，设，（其中为常数，且）， 设直线的方程为：， 则的坐标是关于的方程组的公共解，…………………2分 消去，得，由判别式知： 上述方程必有两不等实根，且两根即为，. …………………4分 ，同理：， …………………6分 ∴ …………………………10分 要使上式不随的变化而变化，必须，∴ 故满足条件的点存在，坐标为. …………………12分 15.（12分） （1）解：由勾股定理知：， 在中，∵是的角平分线， 由角平分线定理知：， ∴，又， ∴ …………………3分 ∴在中， . …………………6分 (2)解：， 在等腰三角形中，取底边的中点，则， ，∴， 由（1）知：