精品解析：上海外国语大学附属外国语学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题

上海外国语附属中学2022学年第二学期高二年级数学期中 2023.4 一、填空题（每小题3分，共36分） 1. 抛物线的焦点坐标为 ___ 2. 已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，若，则____________ 3 数列中，若，且，则__________. 4. 等比数列中，且，则公比为______． 5. 椭圆（为参数）的焦距为________. 6. 设等差数列的前项和为，若，则___________. 7. 无穷等比数列的首项为，公比为，且，则________. 8. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则_________. 9. 已知点在抛物线上，则点到直线的距离的最小值是__________． 10. 已知数列的前项和，则数列的前项和________. 11. 给出下列命题： ①到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线； ②设为两个定点，为常数且，若，则动点的轨迹是双曲线． ③对任意实数，直线总与某一个定圆相切； ④在平面内，到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． 其中真命题序号是__________． 12. 过双曲线焦点的直线与的两条渐近线的交点分分别为M、N，当时，.则的离心率为______. 二、选择题：（每题3分，共12分） 13. 在平面直角坐标系中，“”是“方程表示曲线是双曲线”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 用数学归纳法证明：（为正整数）从到时，等式左边需增加的代数式是（ ） A. B. C. D. 15. 若成等比数列，则下列三个数列：（1）;（2）;（3），必成等比数列的个数为（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 已知数列，下列说法正确是（ ） A. 有最大项，但没有最小项 B. 没有最大项，但有最小项 C. 既有最大项，又有最小项 D. 既没有最大项，也没有最小项 三、解答题：（共52分） 17. 已知抛物线过点. （1）求抛物线的方程，并求其准线方程; （2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度. 18. 已知数列满足：. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式及其前项和的表达式. 19. 我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径）的中心为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）到火星表面的距离为，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）到火星表面的距离为．假定探测器由近火星点第一次逆时针运行到与轨道中心的距离为时进行变轨，其中分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到）． 20. 已知等差数列中，首项，公差，且是等比数列的前三项. （1）求数列与的通项公式； （2）设数列的前项和为，且记，试比较与的大小. 21. 焦距为2c的椭圆（a＞b＞0）满足a、b、c成等差数列，称Γ为“等差椭圆”． （1）求Γ的离心率； （2）过作直线l与Γ有且只有一个公共点，求此直线的斜率k的值； （3）设点A为椭圆的右顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，Q为P关于原点O的对称点（Q也异于A），直线AP、AQ分别与y轴交于M、N两点，判断以线段MN为直径的圆是否过定点？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海外国语附属中学2022学年第二学期高二年级数学期中 2023.4 一、填空题（每小题3分，共36分） 1. 抛物线的焦点坐标为 ___ 【答案】 【解析】 【分析】化简抛物线方程为标准方程，然后求解焦点坐标． 【详解】抛物线的标准方程为：， 所以抛物线的焦点坐标为． 故答案为：． 2. 已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，若，则____________ 【答案】4 【解析】 【分析】由椭圆的方程及定义可求得结果. 【详解】由椭圆的方程，可知， 又是椭圆上的一点，由椭圆的定义知，， 又，则 故答案为：4. 3. 数列中，若，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式可直接求得结果. 【详解】由，知：数列是以为首项，为公差的等差数列， . 故答案为：. 4. 等比数列中，且，则公比为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质求出，再求出公比作答. 【详解】在等比数列中，因为，则，所以公比． 故答案为： 5. 椭圆（为参数）的焦距为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，将椭圆的参数方程变形为普通方程，据此可得a、b的值，计算可得c的值，由椭圆的几何性质分析可得答案． 【详解】解：根据题意，椭圆的参数方程为（θ为参数）， 则其标准方程为y2＝1， 其中a，b＝1