专题06 首届新高考-导数大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）

专题06 首届新高考-导数大题综合（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用） 一、解答题 1．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）设函数，且． (1)求函数的单调性； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导后分与两种情况讨论即可； （2）方法一：讨论当时成立，当时参变分离可得，再构造函数，，求导分析最小值即可； 方法二：将题意转化为，再构造函数，求导分类讨论单调性与最大值即可. 【详解】（1），， 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，时，，则在上单调递减； 时，，则在上单调递增． （2）方法一：在恒成立，则 当时，，显然成立，符合题意； 当时，得恒成立，即 记，，， 构造函数，，则，故为增函数，则. 故对任意恒成立，则在递减，在递增，所以 ∴． 方法二：在上恒成立，即． 记，，， 当时，在单增，在单减，则，得，舍： 当时，在单减，在单增，在单减，，， 得； 当时，在单减，成立； 当时，在单减，在单增，在单减，，，而，显然成立． 综上所述，． 2．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）已知． (1)求在上的最值； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2) 【分析】（1）求导后根据函数的单调性确定极值即可；（2）将不等式转化后求导，分类讨论即可得解. 【详解】（1）由题意知， 令，得， 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 因为，，， 所以在上的最大值为，最小值为． （2）恒成立， 即恒成立， 设， 则，． ①当时，取，则 ， 所以当时，不恒成立． ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以要使，只需， 即， 解得， 所以． 综上，实数a的取值范围是． 3．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数，，. (1)若，求证：； (2)若函数与函数存在两条公切线，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）构建，求导，利用导数判断原函数的单调性与最值，进而可得结果； （2）根据导数的几何意义分析得直线与函数图象有两个交点，求导，利用导数判断原函数的单调性与最值，结合图象分析求解. 【详解】（1）当时，， 构建，，则， 构建， 因为，所以在上单调递增，且， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 则当时，取得最小值，可得 所以当时，. （2）设函数与函数的公切线分别相切于点和点 因为，， 所以的方程可表示为或， 整理得或， 则有①，② 由①可得，代入②可得：, 即， 构建，，则, 构建，则， 且，令，解得；令，解得； 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，则，可得； 当时，在上单调递增，， 可得当时，，当时，； 综上所述：当时，，当时，. 即当时，，即，所以在单调递增； 当时，，即，所以在单调递减； 所以，且当x趋近于时，趋近于，当x趋近于时，趋近于， 由上可知，要使函数与函数存在两条公切线，只需直线与函数图象有两个交点， 由图可知a的取值范围为.    【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 4．（2023·山东淄博·统考三模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)证明：当时，. 【答案】(1)单调递增区间是和 (2)证明见解析 【分析】（1）确定函数定义域，求导得到导函数，构造新函数，求导得到单调区间，计算最值确定恒成立，得到答案. （2）构造函数，求导得到导函数，将导函数设为新函数，再次求导，将导函数设为新函数，再次求导，利用隐零点代换得到的单调区间，计算最值得到，再构造函数，同理得到，得到证明. 【详解】（1）函数的定义域为，. 令函数，. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，即恒成立， 故的单调递增区间是和. （2）当时，，即当时，. 令，， 令，， 令，. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 又，， 所以存在，使得. 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. ，故当时，；当时，， 即当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增. 于是，所以. 令函数，. 当时，；当时，， 所以在上单调递增；在上单调递减， 则. 因为，所以，故， 得. 综上所述：当时，. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将不等式的证明转化为和是解题的关键，证明不等式引入中间函数是一个重要技巧，需要熟练掌握. 5．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）设函数. (1)求的极值