专题05 首届新高考-圆锥曲线大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）

专题05 首届新高考-圆锥曲线大题综合（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用） 一、解答题 1．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知双曲线的左顶点为，渐近线方程为.直线交于两点，直线的斜率之和为-2. (1)证明：直线过定点； (2)若在射线上的点满足，求直线的斜率的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据顶点坐标和渐近线得出双曲线方程，解设，设直线的斜率分别为，通过化简表示出直线的方程，即可得出结论. （2）利用平面几何知识，将几何问题转化为，求出的坐标，最后直线的斜率用的斜率表示，即可求解. 【详解】（1）由题知， 的方程为：， 显然直线的斜率存在， 设直线， 联立，得， 且， 设直线的斜率分别为， 则， 故， 又 ， ， ， ， 不过点， ， 所以直线过定点. （2）由题设直线. 由，得. 由，得. 故， 同理. 由可知，， 即. 因为， 化简得. 当时取等号， 所以直线的斜率的最大值为.      2．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中中，动点到定点的距离比它到轴的距离大1，的轨迹为. (1)求曲线的方程； (2)已知点，分别为曲线上的第一象限和第四象限的点，且，求与面积之和的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意直接求动点的轨迹方程即可； （2）当直线的斜率为0时，不适合题意，所以设出直线的方程与抛物线联立利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）设动点的坐标为，由已知得，， 化简得：，故曲线的方程为. （2）如图：    因为点，分别为曲线上的第一象限和第四象限的点， 所以当直线的斜率为0时，不适合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 由得，，， 所以， 由，得， 因为，所以， 所以， 所以，解得：或（舍去）， 当时，直线的方程为， 直线过定点，且满足，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 故最小值为. 3．（2023·河北·统考模拟预测）已知椭圆的左焦点为，过点作直线交于点，. (1)若，求直线的斜率； (2)设，是上异于的点，且，，三点共线，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）求出椭圆左焦点的坐标，设出直线的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得直线的斜率； （2）求出直线的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理求得点的坐标，再求直线的斜率，与直线的斜率比较可得证明. 【详解】（1）依题意，椭圆的左焦点， 当直线的斜率为0时，此时、两点是椭圆长轴上的两点， 向量，或，均不满足， 不合题意，所以直线的斜率不为0. 故可设直线的方程为，，， 由得：， ， 则，①， 由可得， 所以，即②， 由①②可得，， 化简整理得，所以， 所以直线的斜率为. （2）证明：由，可得直线的方程为， 由得：， 所以，结合 可得：，，即， 又，则， 所以，所以. 4．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知点，点，点是轴上的动点，点在轴上，直线与直线垂直，关于的对称点为． (1)求的轨迹的方程； (2)过的直线交于两点，在第一象限，在处的切线为交轴于点，过作的平行线交于点是否存在最大值？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）利用向量垂直以及中点坐标公式即可求解，或者利用菱形的性质以及抛物线的定义可判断点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线． （2）将问题转化为直线与的倾斜角之差最大．联立直线与抛物线方程，得到韦达定理， 求导得切线斜率，即可利用倾斜角与斜率的关系，结合正切的和差角公式以及基本不等式即可求解. 【详解】（1）法1： 设 因为，所以，即． 又，所以，所以 法2： 如图，设关于的对称点为，由已知得，互相垂直平分 所以四边形为菱形，所以．    因为为中点，所以，即点在定直线上 因为，所以与直线垂直 即点到定点的距离等于点到定直线的距离 所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线． 所以点的轨迹的方程为． （2）存在最大值． 延长交于，    所以最大即直线与的倾斜角之差最大． 由题意可知直线有斜率，设，（） 由得 所以． 因为，所以的斜率，的斜率． 设直线与的倾斜角为，则 ． ． 当且仅当即,时等号成立 因为，所以， 所以当最大时，最大，即最大 此时，所以， 所以的方程为． 【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其