专题04 首届新高考-概率统计大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）

专题04 首届新高考-概率统计大题综合（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用） 一、解答题 1．（2023·山东日照·三模）某学校有两家餐厅，王同学第一天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8. (1)计算王同学第二天去餐厅用餐的概率； (2)王同学某次在餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心，种中式点心，王同学从这些点心中选择3种点心，记选择西式点心的种数为，求的最大值，并求此时的值. 【答案】(1)0.7 (2)或10时，有最大值为 【分析】（1）根据条件概率公式和全概率公式求解即可； （2）利用超几何分布表示出，列出不等式即可求最大值. 【详解】（1）设“第一天去餐厅用餐”，“第一天去餐厅用餐”， “第二天去A餐厅用餐”， 根据题意得， 由全概率公式，得：， 所以，王同学第二天去A餐厅用餐的概率为0.7. （2）由题意，的可能取值有：0，1，2，3， 由超几何分布可知， 令，若最大，则， 即，解得， 又∵， 所以， 易知当和时，的值相等， 所以当或10时，有最大值为， 即当的值为9或10时，使得最大. 2．（2023·云南保山·统考二模）中医药是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是具有悠久历史传统和独特理论技术方法的医药体系，长期呵护着我们的健康，为中华文明的延续作出了突出贡献.某科研机构研究发现，某味中药的药用量x（单位：克）与药物功效（单位：药物功效单位）之间具有关系. (1)估计该味中药的最佳用量与功效； (2)对一批含有这昧中药的合成药物进行检测，发现这味中药的药用量平均值为6克，标准差为2，估计这批合成药的药物功效的平均值. 【答案】(1)该药物使用量为克时可达最大功效. (2) 【分析】（1）根据用量与功效之间具有关系，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意求得，，结合则，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，某味中药的药用量与药物功效之间具有关系， 可得，所以当时，， 即该药物使用量为克时可达最大功效. （2）解：由题意，得，，所以， 则， 这批合成药的药物功效平均值为. 3．（2023·江苏苏州·模拟预测）数据报告显示，2018-2022年期间，某公司旗下一款软件产品的年度活跃用户数每年都保持着较为稳定的增长态势，具体数据如下表. 年份代码 1 2 3 4 5 活跃用户数（单位：亿） 11.51 12.25 12.58 13.67 18.01 (1)根据上表的数据，可用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（计算的值时精确到0.01），并预测2025年的活跃用户数； (2)公司规定，活跃用户数大于12.00（单位：亿）的年份为“企业腾飞年”.在企业腾飞年中，将活跃用户数低于13.00的视为良好，赋1分；将活跃用户数不低于13.00的视为优秀，赋2分.现从企业腾飞年中任取两年，用表示赋分之和，求的分布列和数学期望. （参考数据：，，） 【答案】(1)，2025年的活跃用户数约为20.85亿； (2)分布列见解析，数学期望为. 【分析】（1）根据最小二乘法计算可得回归方程，代入年份代码即可预测2025年用户数； （2）根据条件得出得分的分布列，由期望公式计算即可. 【详解】（1）由表格计算可得：，， 因为，，， 所以. 因为满足，即， 所以关于的回归方程是. 令，得，所以2025年的活跃用户数约为20.85亿. （2）由表格可知：企业腾飞年有4个，其中计分为1分的年份有2个，计分为2分的年份有2个，所以的可能取值有2，3，4， 则，，， 所以的分布列为： 2 3 4 所以数学期望为. 4．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：    (1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的平均数； (2)从测试成绩在[90，100]的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛．现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中进入复赛的人数为，求的分布列及期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用平均数的计算方法，即可求解； （2）由题意可求，甲乙分别进入复赛的概率，然后求出时的概率，即可得到分布列和期望. 【详解】（1）平均数， 所以该校学生测试成绩的平均数为. （2）