专题03 首届新高考-立体几何大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）

专题03 首届新高考-立体几何大题综合（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用） 一、解答题 1．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知四棱锥中，侧面为等边三角形，底面为直角梯形，，，，.    (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意，利用勾股定理逆定理证明，由已知，证明平面，从而证明平面平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）四棱锥中，，， 则，，， ， ， 又，且，平面， 平面，又平面， 平面平面，即平面平面； （2）如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为.    2．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱台中，，，，，．    (1)证明：平面平面； (2)设是的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直证面面垂直，根据题中条件，在平面中，垂直于两平面的交线，只需再证其与平面内的另外一条与相交的直线垂直即可. （2）建立空间直角坐标系，两平面法向量的夹角余弦值的绝对值即为平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：    由三棱台知：， 在梯形中，取的中点，连接， 因， 故，四边形是平行四边形， ∴， ， 所以， ，即， 因，所以， 又因，所以， 又因，所以平面， 因平面， 所以平面平面； （2）解： 取的中点，的中点，连接，，则， 因，所以， 由条件知：四边形是等腰梯形，所以， 平面平面 平面, 平面平面 ∴平面， 分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，    则在等腰梯形中，由平面几何知识可得：， ∴，，，， 设平面的法向量， 则由  得， 令，得，， 所以， 又平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则． 3．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，在多面体ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均为正三角形，，点M为线段CD上一点．    (1)求证：； (2)若EM与平面ACD所成角为，求平面AMB与平面ACD所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取AC中点O，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质证明即可推理作答. （2）利用（1）中信息，建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答. 【详解】（1）取AC中点O，连接DO、OB，在正和正中，， 则，而平面平面ABC， 平面平面，平面ACD，平面ABC，于是平面ABC，平面ACD， 又平面ABC，即有，而．因此四边形DOBE是平行四边形，则， 从而平面ABC，平面ADC， 所以. （2）由（1）知，平面ADC，为EM与平面ADC的所成角，即， 在中，，即M为DC中点， 由（1）知，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，    显然平面DAC的一个法向量为，设平面MAB的一个法向量为， 则，令，得， ， 所以平面AMB与平面ACD所成锐二面角的余弦值为． 4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）四棱锥中，底面为矩形， ，，平面与平面的交线为.    (1)求证：直线平行于平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意证得平面，结合线面平行的性质定理证得直线，再由线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，设，取的方向向量，根据，，利用向量的夹角公式，求得，进而求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：因为底面是矩形，可得， 又因为平面，平面，所以平面， 因为平面，且平面平面，所以直线， 又因为平面，平面，所以平面. （2）解：以点为原点，，垂直于平面的直线分别为轴、轴和轴，建立如图空间直角坐标系，则，则， 设，取的方向向量， 因为，， 可得 ， 又因为，可得，即， 解得，即， 设平面法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取取，可得，所以， 所以， 由图象可得，二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为.    5．（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图1，在平行四边形中，，，为的中点，，，沿将翻折到的位置，如图2，.     (1)证明：平面； (2)求平面和平面的夹角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）确定为正三角形，，证明，得到证明. （2）确定平面，，建立空间直角坐标系，确定平面和平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案. 【详解】（1），，为正三角形， ，则为中点， 设，，，故，故为的三等分点，    ，为的三等分点，即F为的中