专题02 首届新高考-数列大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）

专题02 首届新高考-数列大题综合（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用） 一、解答题 1．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）数列中， (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用累加法计算可得； （2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可得证. 【详解】（1）因为，即， 所以当时，， 将以上各式相加，得，则， 当时也符合上式，故. （2）由题意. 所以 2．（2023·湖南·校联考模拟预测）记等差数列的前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据下标和定理及得出，结合即可求出，进而写出通项公式； （2）首先写出的表达式，由裂项相消法得出，由解出即可． 【详解】（1）设的公差为d，因为， 所以，解得， 又，所以． 所以． （2）因为， 所以 ， 由，解得， 所以． 3．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)议，当取得最小值时，求n的取值． 【答案】(1) (2)1，2，3． 【分析】（1）由数列中与的关系即可求解； （2）分n为奇数和n为偶数时求出的表达式，观察其单调性即可得的最小值，从而求出n的取值. 【详解】（1）因为， 当时，， 所以， 又时，不满足上式， 故数列的通项公式为. （2）当n为奇数时，， 当，时， 因为单调递增，∴， 综上，当n为奇数时，； 当n为偶数时，， 因为单调递增，∴． 综上所述，当取得最小值时，n的取值为1，2，3． 4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知为等差数列，是公比为正数的等比数列， (1)求和的通项公式; (2)设满足 ，记的前项和为，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由条件结合等差数列通项公式和等比数列通项公式列方程求，再由通项公式求解； （2）根据分组求和法求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且， 由题意得:解得:    ， ； （2）由题意知，当时， 当时，+1 令则，    5．（2023·山东泰安·统考模拟预测）设是公比不为的等比数列，，为，的等差中项. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出公比，再根据等比数列的通项即可得解； （2）设，其前n项和为，利用错位相减法求出，再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）设公比为，为，的等差中项， 即， 即为，解得或(舍去)， 所以； （2）， 设，其前n项和为， 所以，① ， ② ①②得 ， 所以， 所以当时，， 当时， ， 所以. 6．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列满足． (1)证明是等比数列； (2)若，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知条件及等比数列的定义即可求解； （2）根据（1）的结论及等比数列的通项公式，利用等差等比数列的前项和公式，结合数列中的分组求和法即可求解. 【详解】（1）由题意得． 又因为，所以． 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得． 所以． 所以 . 7．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知等差数列前项和为，数列前项积为. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求得数列的公差，由此求得.利用求得. （2）利用裂项相消求和法求得. 【详解】（1）是等差数列，， 即：，又， ， . 又， 当时，，符合上式， . （2）由（1）可得：， . 8．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）在等比数列和等差数列中，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)令，，记数列的前项积为，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列、等比数列通项公式即可求解；（2）求出，判断的单调性即可求解. 【详解】（1）设数列的公比为，数列的公差为， 由，有，， 又由，有，有， 又由，有，有，有， 可得，得或（舍去），故，， 故，； （2）证明：由（1）知：，， 则， 当时，； 当时，，即， 又，，，，， 故，， 当时，，． 故． 9．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）已知数列的前n项和为，且满足，等差数列中，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用与的关系求出，再利用等差数列的性质求出公差即可作答. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和作答. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，，则