第28讲不等式性质及应用（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲义

第28讲 不等式性质及应用 一．核心知识 核心一：不等式大小比较的常用方法 （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）； （3）分析法； （4）平方法； （5）分子（或分母）有理化； （6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法； （8）图象法． 其中比较法（作差、作商）是最基本的方法． 核心二：不等式恒成立与存在性问题 1．恒成立的转化： （1）恒成立；恒成立； （2）不等式在区间上恒成立在区间上函数和图象在函数图象上方在区间上函数恒成立； （3）若不等式在区间上恒成立在区间上函数和图象在函数图象下方在区间上函数恒成立． 2．存在性问题的转化： （1）使得函数在上的值域与函数在上的值域的交集不空，即； （2）设函数、，存在，存在，使得 ； （3）设函数、，存在，存在，使得 ． 3．存在性+任意性问题的转化： （1）对使得函数在上的值域是函数在上的值域的子集，即； （2）设函数、，对任意的，存在，使得 ； （3）设函数、，对任意的，存在，使得 ． 二．重难点题型 题型一：求最值问题 【例1】若，且，则的最大值是 ． 【变式】若实数，满足，则的最小值为 ． 【例2】已知实数、、满足，，则的最大值为 ． 【变式】若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为 ，的最大值为 ． 题型二：比较实数的大小 【例3】设， ，则(　　) A． B． C． D． 【变式】设，，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【例4】若，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式】，，则与的大小关为（ ） A． B． C． D．不确定 题型三：不等式性质的应用 【例5】已知，设和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立，求的取值范围． 【变式】是否存在实数，使不等式对于一切实数恒成立？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由 【例6】已知抛物线过点，问：是否存在常数，使不等式对一切都成立？ 【变式】已知是定义在上的减函数，是否存在实数，使得对定义域内的一切实数均成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型四：证明不等式 【例7】已知实数满足，，，求证：. 【例8】已知，求证： 【例9】若是的三边，求证：． 【变式】证明： 课后作业 一．基础过关 1．若，，，则 ( ) A． B． C． D． 2．设，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 3．设是常数项为0的二次函数，且，求的取值范围． 4．已知，求证： 5．若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为(　 　)． A． B． C． D． 二．延伸拓展 6．已知实数（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．设是正整数，求证． ( 10 ) ( 11 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28讲 不等式性质及应用 一．核心知识 核心一：不等式大小比较的常用方法 （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）； （3）分析法； （4）平方法； （5）分子（或分母）有理化； （6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法； （8）图象法． 其中比较法（作差、作商）是最基本的方法． 核心二：不等式恒成立与存在性问题 1．恒成立的转化： （1）恒成立；恒成立； （2）不等式在区间上恒成立在区间上函数和图象在函数图象上方在区间上函数恒成立； （3）若不等式在区间上恒成立在区间上函数和图象在函数图象下方在区间上函数恒成立． 2．存在性问题的转化： （1）使得函数在上的值域与函数在上的值域的交集不空，即； （2）设函数、，存在，存在，使得 ； （3）设函数、，存在，存在，使得 ． 3．存在性+任意性问题的转化： （1）对使得函数在上的值域是函数在上的值域的子集，即； （2）设函数、，对任意的