第05讲 复数（题型归纳+解题技巧）-2024年高考数学《考点•题型•测试》一轮高效复习精讲精练（新高考地区专用）

第05讲　复数 1．复数的有关概念 (1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数， 其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)． (2)分类： 满足条件(a，b为实数) 复数的分类 a＋bi为实数⇔b＝0 a＋bi为虚数⇔b≠0 a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0 (3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)． 2．复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系． 3．复数的运算 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R. (2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义， 即＝＋，＝－. 4． 如图的复平面中，r＝，cos θ＝，sin θ＝，tan θ＝(a≠0)． 任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成z＝r(cos θ＋isin θ)的形式． 我们把r(cos θ＋isin θ)叫做复数的三角形式． 对应于复数的三角形式，把z＝a＋bi叫做复数的代数形式． 复数乘、除运算的三角表示： 已知复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则 z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． ＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 一．复数的四则运算 例1．（1）复数＝（       ） A． B． C． D． （2）设为虚数单位，复数（       ） A． B． C． D． （3）i是虚数单位，则复数___________. 二．共轭复数 例2．（1）已知，则复数的共轭复数是（       ） A． B． C． D． （2）复数，则（       ） A． B． C． D． （3）的共轭复数为（       ） A． B． C． D． 三．求复数的模 例3．（1）设复数z满足，则（       ） A．6 B．6 C． D．5 （2）若，为虚数单位，则（       ） A．1 B．2 C．3 D． （3）计算：___________. 四．求复数的实部与虚部 例4．（1）复数满足，则复数的实部是（       ） A． B． C． D． （2）已知复数满足，则的虚部为（       ） A．2 B．－2 C．1 D．－1 （3）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部为（       ） A． B． C． D．1 五．复数的相等 例5．（1）已知，若（i为虚数单位），则的值为（        ） A．3 B． C．1 D． （2）复数，，若，则（       ） A． B． C． D． （3）复数z满足（i为虚数单位），则实数m＝（       ） A．2 B．1 C．－1 D．－2 六．已知复数类型求参数 例6．（1）若复数为纯虚数，则实数x的值为（       ） A． B．10 C．100 D．或10 （2）已知复数是纯虚数，则___________. （3）已知复数，其中． (1)若为实数，求的值； (2)若为纯虚数，求的虚部． 七．判断复数对应的点所在象限 例7．（1）复数（表示虚数单位）在复平面内对应的点为（            ） A．（－1，2） B．（1，－2） C．（1，2） D．（2，1） （2）已知是虚数单位，，则复数所对应的点位于（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （3）已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点位于（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 八．根据复数的坐标写出对应的复数 例8．（1）如图所示，在复平面内，复数对应的点为，则（       ） A． B． C． D． （2）已知点，，，复数，在复平面内对应的向量分别是，，则复数（       ） A． B． C． D． （3）在复平面内，复数和对应的点分别是和，则_______. 九．根据复数对应坐标的特点求参数 例9．（1）若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． （2）在复平面内，若复数所对应的点落在直线上，其中i为虚数单位，则（       ） A