第04讲 基本不等式（题型归纳+解题技巧）-2024年高考数学《考点•题型•测试》一轮高效复习精讲精练（新高考地区专用）

第04讲　基本不等式 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2(a，b∈R)． (4)≥2(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．用基本不等式求最值 用基本不等式≤求最值应注意：一正二定三相等. (1)a，b是正数； (2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2； ②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 一．由基本不等式比较大小 例1．（1）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A． B． C． D． （2）设 (其中0<x<y)，则M，N，P的大小顺序是（     ） A．P<N<M B．N<P<M C．P<M<N D．M<N<P （3）设，，，则a，b，c的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 【复习指导】：比较大小有以下几种方法： （1）利用函数单调性比较大小； （2）中间量法比较大小； （3）作差法、作商法比较大小. 二．利用基本不等式求最值 命题点1　配凑法 例2．（1）当x>1时，求2x＋的最小值； （2）已知，求的最小值. （3）已知，求函数的最大值． （4）已知函数f(x)＝(x<－1)，则(　　) A．f(x)有最小值4 B．f(x)有最小值－4 C．f(x)有最大值4 D．f(x)有最大值－4 命题点2　常数代换法 例3．（1）若正数m，n满足2m＋n＝1，则＋的最小值为(　　) A．3＋2 B．3＋ C．2＋2 D．3 （2）已知正实数a，b满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． （3）已知非负实数，满足，则的最小值为______________. 命题点3　消元法 例4．（1）已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． （2）已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，求xy的最大值． （3）若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________． 【复习指导】：(1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法． 在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个或一个变元的问题，再使用基本不等式求解． 命题点4　建立求解目标不等式求最值 例5．（1）已知a>0，b>0，且a＋b＋＋＝5，则a＋b的取值范围是(　　) A．1≤a＋b≤4 B．a＋b≥2 C．1<a＋b<4 D．a＋b>4 （2）正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________. （3）正实数x，y满足4x2＋y2＋xy＝1，则xy的最大值为________；2x＋y的最大值为________． 【复习指导】：利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值． 三．基本不等式的综合应用 命题点1　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例6．（1）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（     ） A．4 B．10 C．5 D． （2）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（     ） A．13 B．12 C．9 D．6 （3）在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（     ） A． B． C． D． （4）（多选）设正项等差数列满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 命题点2　求参数值或取值范围 例7．（1）对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为(　　) A. B．2 C．4 D. （2）若△ABC的内角满足3sin A＝sin B＋sin C，则cos A的最小值是(　 　) A. B. C. D. （3）若使得不等式成立，则实数a的取值范围（     ） A． B． C． D． （4）已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【复习指导】：(1)当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代