第02讲 常用逻辑用语（题型归纳+解题技巧）-2024年高考数学《考点•题型•测试》一轮高效复习精讲精练（新高考地区专用）

第02讲　常用逻辑用语 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 2. 全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 一．充分、必要条件的判定 例1．（1）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）已知，若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （3）已知非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 （4）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【复习指导】：充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题． 二．充分、必要条件的应用 例2．（1） “”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． （2）若，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． （3）“不等式在R上恒成立”的充要条件是（     ） A． B． C． D． （4）已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是________ 【复习指导】：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 三．含量词命题的否定 例3．（1）设命题，则为（ ） A． B． C． D． （2）命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， （3）命题“且的否定形式是（ ） A．且 B．或 C．且 D．或 【复习指导】：含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论． 四．含量词命题的真假判断 例4．（1）下列命题中的假命题是（ ） A．， B．， C．， D．， （2）下列命题中，真命题的是（     ） A．函数的周期是 B． C．函数是奇函数. D．的充要条件是 【复习指导】：判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可． 五、含量词命题的应用 例5．（1）命题“ax2－2ax + 3 > 0恒成立”是假命题, 则实数的取值范围是（ ） A．a < 0或a ≥3 B．a 0或a ≥3 C．a < 0或a >3 D．0<a<3 【复习指导】：由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题，即p与p的关系，转化成p的真假求参数的范围． （2）已知命题:“，使得”是真命题，则实数的最大值是____. （3）已知，，若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是_________. 1．若，则“”是 “”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，则“”是“” 的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件