吉林省长春市绿园区长春市新解放学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题

吉林省长春市新解放学校2022-2023学年下学期期中考试 高一数学 1、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若复数z满足，则 A． B． C． D． 2．如图，是水平放置的直观图，其中，//轴，//轴，则 A． B．2 C． D．4 3．的内角，所对的边分别为，且，则的值为 A． B． C． D． 4．已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，则下列命题中错误的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 5． 已知向量满足则 A．3 B．49 C．6 D．7 6．在中，若，，则 A． B． C． D． 7． 如图，在梯形ABCD中，，BC＝2AD，DE＝EC，设，，则 A． B． C． D． 8．已知长方体中，，，若与平面所成的角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为 A． B． C． D． 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分） 9．已知平面向量，，，下列四个命题不正确的是 A．若，则 B．单位向量都相等 C．方向相反的两个非零向量一定共线 D．若，满足，且与同向，则 10．已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则 A．圆台的母线长为4 B．圆台的高为4 C．圆台的表面积为 D．球O的体积为 11．已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是 A．若,则 B．若，则为直角三角形 C．若,则为直角三角形 D．若，则满足条件的有两个 12．已知正方体的棱长为6，点分别是棱的中点，是棱上的动点，则 A．直线与所成角的正切值为 B．直线平面 C．平面平面 D．到直线的距离为 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知向量，若，则___________. 14．在中，角,,所对边分别是,,，若，则___________. 15．已知复数满足，则的最大值为__________． 16．某同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台A，A到地面的距离为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得阳台A，天文台顶的仰角分别是15°和60°，在阳台处测得天文台顶的仰角为30°，假设，和点在同一平面内，则该同学可测得学校天文台的高度为______. 四、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余各题12分，共70分） 17．已知复数，其中为虚数单位，． (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 18．已知，是两个不共线的向量. (1)若，，，求证：A，B，D三点共线； (2)若和共线，求实数的值． 19．在中角，，所对的边分别为，，，. (1)求； (2)若，求的面积. 20．如图，在四棱锥中，正方形的边长为2，平面平面，且，，点分别是线段的中点. (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 21．已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且 ，且． (1)求； (2)若，且的面积为，求周长． 22．在直三棱柱中，E为棱上一点，，，D为棱上一点. (1)若，且D为靠近B的三等分点，求证：平面平面； (2)若△ABC为等边三角形，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦 值的大小. 高一数学 第2页，共4页 高一数学 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念可求出结果. 【详解】因为，所以， 故选：D 2．C 【分析】在直观图中，利用余弦定理求出，再由斜二测画图法求出及，借助勾股定理求解作答. 【详解】在中，，，由余弦定理得： ，即，而，解得， 由斜二测画图法知：，， 在中，，所以. 故选：C 3．B 【分析】应用正弦定理、三角形内角性质求的值. 【详解】由正弦定理知：，则，， 所以或，又，故. 故选：B 4．A 【分析】设出、、的法向量，利用空间位置关系的向量证明判断B，C，D；根据线面关系判断A. 【详解】设平面、、的法向量分别为、、，直线，的方向向量为，， 对于A：若，，则或，故A错误； 对于B：若，则，又，则，所以，则，故B正确； 对于C：若，，则，，又，则，所以，则，故C正确； 对于D：因，，则，，因此向量、共面于平面， 令直线的方向向量为，显然，， 而平面，即、不共线，于是得，所以，故D正确. 故选：A 5．D 【分析】根据公式直接计算可得. 【详解】. 故选：D 6．C 【分析】根据题意，结合正弦定理求得，再由余弦定理，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理可得，且， 由余弦定理可得：. 故选：C． 7．D 【分析】取BC中点F，先征得四边形为平行四边形