第八章 立体几何初步【复习提升】-2022-2023学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第二册）

第八章 立体几何初步 1．柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式 几何体 面积 体积 圆柱 S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h 圆锥 S侧＝πrl V＝Sh＝πr2h＝πr2 圆台 S侧＝π(r1＋r2)l V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h 直棱柱 S侧＝Ch V＝Sh 几何体 面积 体积 正棱锥 S侧＝Ch′ V＝Sh 正棱台 S侧＝(C＋C′)h′ V＝(S上＋S下＋)h 球 S球面＝4πR2 V＝πR3 2．空间中线线关系 空间中两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种情况． 两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况． （1）证明线线平行的方法 ①线线平行的定义； ②基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行； ③线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b； ④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b； ⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. （2）证明线线垂直的方法 ①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角(在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线)； ②线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b； ③线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b. 3．空间中线面关系：直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、线面相交、平行三种． （1）证明直线与平面平行的方法 ①线面平行的定义； ②判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α； ③平面与平面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β. （2）证明直线与平面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②判定定理1：⇒l⊥α； ③判定定理2∶a∥b，a⊥α⇒b⊥α； ④面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α⇒a⊥β； ⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. 4．空间中面面关系：两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种． （1）证明面面平行的方法 ① 面面平行的定义； ② 面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒α∥β； ③ 线面垂直的性质定理：a⊥α，a⊥β⇒α∥β； ④ 基本事实4的推广：α∥γ，β∥γ⇒α∥β. （2）证明面面垂直的方法 ① 面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角； ② 面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β. 考点1：空间几何体的表面积与体积 1．已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为2，则该圆锥的体积等于（       ） A． B． C． D． 2．一个球的体积为36π，则这个球的表面积为（　　） A．9π B．18π C．36π D．72π 3．已知圆台下底面的半径为，高为，母线长为，则圆台的体积为______． 4．以边长为1的正方形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周得到一个圆柱，则该圆柱的表面积是 _____. 5．（2022·陕西咸阳·高一期末）已知正方体ABCD-的棱长为2. （1）求三棱锥的体积； （2）证明：. 考点2：与球有关的切、接问题 1．设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 2．设是同一个半径为的球的球面上四点，是以为底边的等腰三角形，且面积为，则三棱锥体积的最大值为（       ） A． B． C． D． 3．古希腊数学家阿基米德最为满意的一个数学发现是“圆柱容球”，即在球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等时，球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的.已知体积为的圆柱的轴截面为正方形.则该圆柱内切球的表面积为（       ） A． B． C． D． 4．已知一个正六棱柱的所有顶点都在球面上，若正六棱柱的底面边长与侧棱长均为2，则这个球的表面积为_____． 5．如图，在四棱锥中，平面平面，是边长为4的等边三角形，四边形是等腰梯形，，则四棱锥外接球的表面积是____________. 考点3：求异面直线所成角 1．下图的正方体中，异面直线与所成的角是（       ） A． B． C． D． 2．在空间四边形中，，，分别为，的中点，若与所成的角为40°，则与所成角的大小为（       ） A．20° B．70° C．20°或70° D．40°或140° 3．在正方体中，则