第7章 第6节 第1课时 向量法求空间角、距离（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（通用版，新教材新高考）

第6节 立体几何中的向量方法► 对应学生用书P151 [课标解读]　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角．　2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 第1课时　向量法求空间角、距离 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 l1与l2所成的角θ a与b的夹角β 范围 [0，π] 求法 cos θ＝ cos β＝ 2.直线与平面所成的角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a，n〉|＝． [提醒]　注意在求线面角时，直线的方向向量和平面的法向量所成的锐角并不是线面角，而是线面角的余角． 3．二面角 (1)若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图①. (2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角的大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝，如图②③. [提醒]　在求二面角问题时，要理清题目条件或者结合图形，确定二面角是锐角还是钝角． 4．利用空间向量求距离 (1)两点间的距离 设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝. (2)点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝. [必记结论] 1．最小角定理：cos θ＝cos θ1cos θ2. 如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2. 2．直线与平面所成的角的范围是[0，]，二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是[0，]. 【小题热身】 1．(选择性必修一·P36例7改编)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，CC1＝3，∠ACB＝90°，则BC1与A1C所成的角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：选A．如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则C，A1，B(0，4，0)，C1，所以＝，＝，所以cos 〈，〉＝＝＝，所以直线BC1与A1C所成角的余弦值为. 2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选A．由于cos 〈m，n〉＝－，所以〈m，n〉＝120°，所以直线l与α所成的角为30°. 3．(选择性必修一·P35练习2改编)已知向量n＝(2，0，1)为平面α的法向量，点A(－1，2，1)在α内，则点P(1，2，2)到平面α的距离为________ 解析：＝(－2，0，－1)，点P到平面α的距离为＝＝. 答案： 4．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面PAB与平面PCD所成的角为________. 解析：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝PA＝1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1). 由题意，知AD⊥平面PAB.设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD，又CD⊥平面PAD， ∴CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD. ∴＝(0，1，0)，＝分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且〈，〉＝45°. 故平面PAB与平面PCD所成的角为45°. 答案：45° 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　求异面直线所成的角 【典例引领】 [例1](1) (一题多法)在三棱锥P­ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P­BC­A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：选A．法一　选A．如图，取BC的中点O，连接OP，OA. 因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，即平面PAO⊥平面ABC.所以∠POA就是二面角P­BC­A的平面角，即∠POA＝120°，建立空间直角坐标系如图所示． 设AB＝2，则A(，0，0)，C(0，－1，0)，B(0，1，0)，P，所以＝(－，－1，0)，＝. 所以cos 〈，〉＝＝－，即异