第5章 创新拓展系列(八) 奔驰定理（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（通用版，新教材新高考）

创新拓展系列(八)·奔驰定理 奔驰定理：如图所示，已知P是三角形ABC内任意一点，则S△PBC＋S△PCA＋S△PAB＝0. 推论：已知P是三角形ABC内任意一点，且x＋y＋z＝0，则S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝x∶y∶z. [典例] 点P是△ABC内一点，且＝＋，则△ABP的面积与△ABC的面积之比是(　　) A．1∶3 B．2∶3 C．1∶4 D．1∶2 [思维点拨]　作出图形，根据＝＋可得＝＝，进而得＝＝或直接根据奔驰定理的推论，得到S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝5∶4∶3，进而得出△ABP的面积与△ABC的面积之比． 解析：选C．法一(常规解法)　如图所示，连接CP并延长，交AB于Q，取AB靠近A的三等分点M，取AC靠近A的四等分点N，连接PM，PN. 因为＝＋，所以四边形AMPN为平行四边形，PN∥AQ，所以＝＝. 分别过点P，C作AB的垂线，垂足分别为E，F，则＝，所以△ABP的面积与△ABC的面积之比为＝.故选C． 法二(结论解法)　连接PC，＝＋＝(－)＋(－)＝＋－，即＋＋＝0，利用奔驰定理的推理得S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝∶∶＝5∶4∶3，所以＝＝.故选C． 【创新集训】 已知△ABC中内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点G是△ABC的重心，且＋＋＝0，则∠ABC的大小是________. 解析：(结论解法)由点G是△ABC的重心，可得＋＋＝0， 由奔驰定理的推论及＋＋＝0， 得S△GBC∶S△GCA∶S△GAB＝∶∶＝1∶1∶1. 设a＝5m，b＝7m，c＝8m， 由余弦定理可得cos ∠ABC＝＝＝. 因为0<∠ABC<π，所以∠ABC＝.故填. 答案： [课下巩固检测卷(二十六)] A－基础巩固题组 1．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为(　　) A．(2，0) B．(－3，6) C．(6，2) D．(－2，0) 解析：选A．设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3，6)，解得x＝2，y＝0. 2．(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　) A．－2 B． C．1 D．－1 解析：选ABD．各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1).假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形． 3．(2023·陕西西安八校联考)已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，1)，c＝(5，4)，则以向量a与b为基底表示向量c的结果是(　　) A．a－b B．a－b C．－a－b D．a＋b 解析：选A．设c＝xa＋yb，则解得所以c＝a－b.故选A． 4．(多选)已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(1，1)，在下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是(　　) A．a，c B．a，b－c C．c，a＋b D．a＋b，b－c 解析：选AD．对于A，假设a＝λc，则有显然不成立，故向量a，c不是共线向量，所以符合题意； 对于B，b－c＝(－1，0)，因为a＝－(b－c)，所以a，b－c是共线向量，因此不符合题意； 对于C，a＋b＝(1，1)，因为a＋b＝c，所以c，a＋b是共线向量，因此不符合题意； 对于D，a＋b＝(1，1)，b－c＝(－1，0)，假设a＋b＝μ(b－c)是共线向量，则有显然不成立，故向量a＋b，b－c不是共线向量，所以符合题意．故选AD． 5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC＝3DF，设＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b 解析：选B．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC＝3DF， ∴＝＝(－)＝(－)，＝－＝＋. 则＝＋＝(＋)＋(－)＝＋＝a＋b.故选B． 6．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D．以向量a和b的交点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)， 则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，∴a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3)， ∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，则解得 ∴＝＝4. 7．在△ABC中，O为△ABC的重心．若＝＋，则λ－2μ＝(　　) A．－ B．－1 C． D．－ 解析：选D．如图，延长BO交AC于点M，∵点O为△ABC的重心，∴M为AC的中