第4章 第3节 第2课时 简单的三角恒等变换（word教参）-【正禾一本通】2024高考数学高三一轮总复习高效讲义（通用版，新教材新高考）

第2课时　简单的三角恒等变换 考点1　三角函数式的化简 【考点集训】 1．(多选)当3π<α<4π，化简－的值为(　　) A．sin B．cos C．－sin D．－cos 解析：选AD．由原式＝－， ∵3π<α<4π，∴<<2π. 故当<<时，sin ＋cos <0，sin －cos <0， ∴原式＝－＋＝－cos . 当<<2π时，sin ＋cos >0，sin －cos <0， ∴原式＝＋＝sin . 故当3π<α<π时，原式＝－cos ， 当π<α<4π时，原式＝sin . 2．化简：＝________. 解析：原式＝＝ ＝＝＝cos 2x. 答案：cos 2x 3．化简：(－tan )·(1＋tan α·tan )＝________. 解析：(－tan )·(1＋tan α·tan )＝(－)·(1＋·) ＝·＝·＝. 答案： 【思维升华】 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征． 2．对于给角求值的问题，往往所给的角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： (1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正、负相消的项，消去求值； (3)化分子、分母出现公约数进行约分求值． 考点2　三角函数求值 【典例引领】 [例1](1) 若tan ＝，则＝(　　) A．－ B．－3 C． D．3 解析：选A．＝＝＝－tan ＝－，故选A． (2) 若sin 2α＝，sin (β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　) A． B． C．或 D．或 解析：选A．∵α∈∴2α∈. ∵sin 2α＝，∴2α∈，∴α∈，cos 2α＝－. ∵β∈，∴β－α∈，∴cos (β－α)＝－， ∴cos (α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos 2αcos (β－α)－sin 2αsin (β－α)＝(－)×(－)－×＝. 又∵α＋β∈，∴α＋β＝，故选A． [变式]　本例(2)条件变为“已知tan α，tan β是方程x2－x－2＝0的两个实数根且α<β.α，β∈(－，)”，问题不变． 解：由根与系数的关系可得tan α＋tan β＝，tan α·tan β＝－2， 又因为α<β且α，β∈(－，)，故tan α<0<tan β，则－<α<0，0<β<， 所以－<α＋β<，因为tan (α＋β)＝＝，因此α＋β＝. 【思维升华】 1.给值(式)求值问题的一般思路 一般是给出某些角的三角函数值(或三角函数等式)，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”、化简已知等式，使相关角相同或具有某种关系． 2．给值求角实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取函数时，遵循以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正、余弦函数值，若角的范围是，选正、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是，选正弦函数． 【考点集训】 1．(2022·全国新高考Ⅱ)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos (α＋)sin β，则(　　) A．tan (α－β)＝1 B．tan (α＋β)＝1 C．tan (α－β)＝－1 D．tan (α＋β)＝－1 解析：选C．由已知等式，得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×(cos α－sin α)sin β，整理得sin αcos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，所以tan (α－β)＝－1，故选C． 2．已知α∈(0，)，β∈(0，)，且sin 2α(1＋sin β)＝cos β(1－cos 2α)，则下列结论正确的是(　　) A．2α－β＝ B．2α＋β＝ C．α＋β＝ D．α－β＝ 解析：选A．由题可知，2sin αcos α(1＋sin β)＝cos β·2sin2α，因为α，β∈(0，)，所以sinα≠0，所以cos α(1＋sin β)＝cos βsin α，即cos α＝sin (α－β)，因为cos α＝sin (＋α)＝sin (－α)，所以α－β＝＋α(舍)或α－β＝－α，即2α－β＝，故选A． 考点3　三角变换的简单应用 【典例引领】 [例2](2023·广州模拟)已知函数f(x)＝(sin ＋cos )2－2sin2. (1)若f(x)＝，求sin2x的值； (2)求函数F(x)＝f(x)·f(－x)＋f2(x)的最大值与单调递增区间． 解：(1)由题意知f(x)＝1＋sin x－(1－cos x)＝sin x＋cos x. 又∵f(x)＝，∴sin x＋cos x＝， ∴sin 2x＋1＝，∴sin 2x＝. (2)F(x)＝(sin x