期末专题02 立体几何大题综合-【备战期末必刷真题】2022-2023学年高一数学下学期期末考试真题必刷满分训练（新高考重庆专用）

期末专题02 立体几何大题综合（新高考重庆专用） 一、解答题 1．（2022春·重庆长寿·高一统考期末）如图，正方体的棱长为2，E是的中点． (1)证明：平面BDE； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由线面平行判定定理证明即可； （2）利用三棱锥等体积转化，换成易求底面积与高的，从而求得三棱锥体积. （1） 证明：连接AC交BD于点O，连接OE，则 ∵点O，E分别是，AC的中点， ∴ 又∵面BDE，面BDE， ∴面BDE （2） 解：∵ 又∵BC⊥面 ∴点B到面的距离等于BC ∴ ∴. 即三棱锥的体积为. 2．（2022春·重庆巴南·高一重庆市实验中学期末）四边形ABCD是圆柱OO1的轴截面，E为底面圆周上的一点，，，． (1)求证：平面； (2)求圆柱的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）推导出，，由此能证明平面． （2）利用勾股定理求出，从而得到底面圆的半径，由此能求出圆柱的表面积． 【详解】（1）证明： 四边形是圆柱的轴截面，为底面圆周上的一点， 所以平面，平面，所以 ， ，平面，平面． （2）解： ，，． ，， 圆柱的表面积：． 3．（2022春·重庆·高一统考期末）如图，在正三棱柱中，M，N分别为棱，的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接，，即可得到四边形为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）依题意可得、，即可得到平面，再由，即可得到平面，从而得证； (1) 证明：取的中点，连接，， 因为，分别为棱，的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 平面； (2) 证明：∵平面，平面，所以， 又 ，，平面，所以平面， 因为，所以平面， 又平面，所以平面平面； 4．（2022春·重庆·高一校联考期末）正三棱柱中，，，点分别为的中点． (1)求证：面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，可证得四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定可证得结论； （2）取中点，可证得平面，利用体积桥，结合棱锥体积公式可求得结果. （1） 取中点，连接， 分别为中点，且， 为中点，四边形为平行四边形，且， 且，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面. （2） 取中点，连接， 三棱柱为正三棱柱，为正三角形，平面， ，，又，平面， 平面， ，， . 5．（2022春·重庆巫山·高一重庆市巫山大昌中学校校考期末）如图，AB是圆柱的一条母线，BC过底面圆心O，D是圆O上一点．已知， (1)求该圆柱的表面积； (2)将四面体ABCD绕母线AB所在的直线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意求出柱的底面圆的半径即可求解； （2）绕AB旋转一周而成的封闭几何体的体积为两个圆锥的体积之差，结合圆锥体积公式求解即可 【详解】（1）由题意知AB是圆柱的一条母线，BC过底面圆心O，且， 可得圆柱的底面圆的半径为， 则圆柱的底面积为， 圆柱的侧面积为 所以圆柱的表面积为． （2）由线段AC绕AB旋转一周所得几何体为以BC为底面半径，以AB为高的圆锥， 线段AD绕AB旋转一周所得的几何体为BD为底面半径，以AB为高的圆锥， 所以以绕AB旋转一周而成的封闭几何体的体积为： ． 6．（2022春·重庆长寿·高一统考期末）如图，正四棱锥中． (1)求证：平面PAC⊥平面PBD； (2)若，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明线面垂直，再利用面面垂直判定定理证明平面PAC⊥平面PBD； （2）先作出二面角的平面角，再去求其余弦值即可． 【详解】（1）设点O是AC与BD的交点，连接PO， 则由正四棱锥得：AC⊥BD且PO⊥面ABCD 又∵面ABCD，∴PO⊥BD，又∵， ∴BD⊥面PAC，又∵面PBD， ∴平面PAC⊥平面PBD （2）过点O作OE⊥PC交PC于点E，连接BE， 由（1）知BD⊥平面PAC，平面PAC， ∴BD⊥PC，又∵OE⊥PC，且 ∴PC⊥平面BOE，又∵平面BOE，∴PC⊥BE 则BEO是二面角BPCA的平面角． 设，，则 在Rt△POC中，，，得， 在Rt△BOE中，∴ 故二面角的余弦值为． 7．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考期末）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面． (1)求证：； (2)若直线与平面所成角的为，求直线与直线所成角的正切值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直的判定定理可证得平面，所以. （2）由题分析知直线与平面所成角为，可求出取的中点，连接，直线与直线所成角为，