重难点专项突破06相似三角形中的“手拉手”旋转模型-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

重难点专项突破06相似三角形中的“手拉手”旋转模型 【知识梳理】 “手拉手”旋转型 模型展示： 如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来.Com] 【考点剖析】 例1.如图，直角梯形ABCD中，，AD // BC，BC = CD，E为梯形内一点， 且，将绕点C旋转90°使BC与DC重合，得到，联结EF 交CD于M．已知BC = 5，CF = 3，则DM : MC的值为（ ） A． B． C． D． A B C D E F M 例2、如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4.求证： (1)△ABD∽△CBE； (2)△ABC∽△DBE. 例3.把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D 与三角板ABC的斜边中点O重合，其中，，AB = DE = 4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB 相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q． （1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证∽，则 此时______； （2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时间方向旋转，设旋转角为．其 中，问的值是否改变？请说明理由． F A B(Q) C D(O) E P P A B C D(O) A B C D(O) Q P Q E F E F 图1 图2 图3 例4.如图，已知和是两个全等的等腰直角三角形，且 ，的顶点E与的斜边BC的中点重合．将绕 点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于 点Q． （1）如图1，当点Q在线段AC上，且AP = AQ时，求证：≌； （2）如图2，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：∽；并求当BP = a， 时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）． A B C D E F A B C D E F P P Q 图1 图2 Q 例5.在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP． （1）观察猜想 如图1，当α＝60°时，的值是　　 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　 　 ． （2）类比探究 如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由． （3）解决问题 当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值． 【过关检测】 一．填空题（共1小题） 1．（2022秋•黄浦区期末）如图，在矩形ABCD中，过点D作对角线AC的垂线，垂足为E，过点E作BE的垂线，交边AD于点F，如果AB＝3，BC＝5，那么DF的长是 　 　． 二．解答题（共7小题） 2．（2022秋•杨浦区期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，联结BD，以BD为斜边作等腰直角三角形BDE（点E在直线BD右侧），联结CE． （1）如果∠A＝45°，求证：△ABD∽△CBE； （2）如果BC＝12，CD＝5，求线段CE的长． 3．（2021春•徐汇区校级期末）如图，∠1＝∠2，AD＝AE，∠B＝∠ACE，且B、C、D三点在一条直线上，若∠B＝60°． （1）△BAD与△CAE是否全等，请说明理由； （2）△ABC是否是等边三角形，如果是．请说明理由； （3）CE＝AC+CD是否成立，如果成立请说明理由． 4．（2022•静安区二模）如图①，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝，AD＝6，BC＝7，点P是边AD上的动点，联结BP，作∠BPF＝∠ADC，设射线PF交线段BC于E，交射线DC于F． （1）求∠ADC的度数； （2）如果射线PF经过点C（即点E、F与点C重合，如图②所示），求AP的长； （3）设AP＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． 5．（2023•静安区校级一模）在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，点D为射线CB上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为腰且在AD的右侧作等腰直角△ADF，∠ADF＝90°，射线AB与射线FD交于点E，联结BF． （1）如图所示，当点D在线段CB上时， ①求证：△ACD∽△ABF； ②设CD＝x，tan∠BFD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）当AB＝2BE时，求CD的长． 6．（2021秋•静安区期末）如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，且DC∥AE． （1）求证：DE2＝AE•DC； （2）如果BE＝9，求四