17 数列综合应用之数学归纳法专题复习讲义-2024届高考数学一轮复习专题讲义

新东方·老师好 高一数学 目录 数列问题之数学归纳法 2 【课前诊断】 2 【知识梳理】 3 【典型例题】 4 【小试牛刀】 8 【巩固练习——基础篇】 9 【巩固练习——提高篇】 10 数列问题之数学归纳法 【课前诊断】 成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差 1. 数列的通项公式,设其前项和为,则等于 A．100 B. C. 200 D. 2.设数列为等差数列, 为数列的前项和,已知. （Ⅰ）求数列的通项公式与前项和公式; （Ⅱ）设为数列的前项和,求. 3. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，满足 . （Ⅰ）求数列,通项公式; （Ⅱ）设,求数列的前项和 【知识梳理】 1.数学归纳法适用的范围：关于正整数的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明 2.第一数学归纳法：通过假设成立，再结合其它条件去证成立即可。证明的步骤如下： （1）归纳验证：验证（是满足条件的最小整数）时，命题成立 （2）归纳假设：假设成立，证明当时，命题也成立 （3）归纳结论：得到结论：时，命题均成立 3.第一归纳法要注意的地方： （1）数学归纳法所证命题不一定从开始成立，可从任意一个正整数开始，此时归纳验证从开始 （2）归纳假设中，要注意，保证递推的连续性 （3）归纳假设中的，命题成立，是证明命题成立的重要条件。在证明的过程中要注意寻找与的联系 4.第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设命题成立时，可用的条件只有，而不能默认其它的时依然成立。第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设，命题均成立，然后证明命题成立。可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下： （1）归纳验证：验证（是满足条件的最小整数）时，命题成立 （2）归纳假设：假设成立，证明当时，命题也成立 （3）归纳结论：得到结论：时，命题均成立 【典型例题】 例1.用数学归纳法证明，则当时左端应在的基础上加上(　　)． A． B． C. D． 练1.下列代数式能被9整除的是(　　) A． B． C． D． 练2.用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上(　　)． A. B． C. D. 练3.用数学归纳法证明： ＋＋…＋＝；当推证当n＝k＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是　　　　　. 例2.已知等比数列的首项，公比，设是它的前项和，求证： 练1.已知数列满足，其前项和，且 （1）求数列的通项公式 （2）设，并记为数列的前项和，求证： 练2.设数列的前项和为，满足，且 （1）求 （2）求数列的通项公式 练3.在数列中，已知，且，求证： 练4.已知数列满足，当时， 求证：数列的第项能被3整除 练5.设正整数数列满足：，且对于任何，由 （1）求 （2）求数列的通项公式 练6.已知数列满足，其中常数 （1）若，求的取值范围 （2）若，求证：对任意的，都有 【小试牛刀】 1.如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有行，在这些数中非1的数字之和是________________． 1 1　　1 1　　2　　1 1　　3　　3　　1 1　　4　　6　　4　　1 … 2.在数列{an}中，且，通过计算，猜想的表达式是________． 3.设，求证：．恒成立． 4.数列满足，，． （1）写出，，，猜想通项公式，用数学归纳法证明你的猜想； （2）求证：，． 【巩固练习——基础篇】 1.是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式： a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2) 都成立，并证明你的结论． 2.证明不等式 (n∈N)． 3.已知数列{an}满足a1=0，a2=1，当n∈N时，an+2=an+1+an． 求证：数列{an}的第4m+1项(m∈N)能被3整除． 【巩固练习——提高篇】 1.已知数列的前项和为，且 （1）求 （2）设满足：且，求证： 2.已知的三边长为有理数 （1）求证：是有理数 （2）求证：对任意的正整数，是有理数 3.设实数，整数 （1）证明：当且时， （2）数列满足，求证： 20 50 学科网（北京）股份有限公司 $新东方·老师好 高一数学 目录 数列问题之数学归纳法 2 【课前诊断】 2 【知识梳理】 3 【典型例题】 4 【小试牛刀】 12 【巩固练习——基础篇】 15 【巩固练习——提高篇】 18 数列问题之数学归纳法 【课前诊断】 成绩（满分10）： 完成