16 数列综合应用专题复习讲义-2024届高考数学一轮复习专题讲义

目录 数列的综合应用 2 【课前诊断】 2 【知识点一：通项公式的求法】 3 考点一：公式法求通项 4 考点二：已知求 4 考点三：累加 累乘 5 考点四：递推关系 6 【知识点二：前n项和的求法】 7 考点一：直接求和 9 考点二：分组求和 10 考点三：裂项相消法求和 11 考点四：错位相减法求和 12 考点五：倒序相加法求和 13 【知识点三：数列的证明与单调性最值问题】 14 【典型例题】 15 【小试牛刀】 18 【巩固练习——基础篇】 20 【巩固练习——提高篇】 23 数列的综合应用 【课前诊断】 成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差 1.已知是等比数列，,,则公比为（ ） A. B.-2 C.2 D. 2.在等比数列{}中，若—8，则等于 A.— B.— C. D. 3.等比数列中,,,的前项和为 A. B. C. D. 4.各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为________，的值为________. 【知识点一：通项公式的求法】 1.通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即. 2.递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，，其中是数列的递推公式. 求解数列通项的方法 1.公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 2.已知：已知（即）求， 用作差法： 3. 累加法：求： 4.累乘法：已知求，用累乘法：. 【典型例题】 考点一：公式法求通项 例1.已知等差数列满足，公差． （Ⅰ）求数列的通项公式； 例2.已知等比数列的公比为，且，,成等差数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； 考点二：已知求 例1.若，求 例2.中，已知，求 练1.设数列的前项和为,且. （Ⅰ）求数列的通项公式; 练2.若，求 例3.已知数列的前项和为，且． （Ⅰ）求和 练1.若，求 练2.若，求 考点三：累加 累乘 例1.已知数列满足，，求。 练1.已知数列满足,则. 例2.已知数列满足，，求. 练2.已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项 考点四：递推关系 例1.已知数列中，，，求. . 练1.已知数列满足 求数列的通项公式； 例2.已知数列满足（），，数列的通项公式为 例3.已知数列中，且，求的前项和 练3.已知数列中，且，求的前项和 【知识点二：前n项和的求法】 1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和． （1）等差数列的求和公式： （2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论） 2．分组求和法：把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组 合，或者把整个数列分成两部分等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和.例如对通项公式为an=2n+3n的数列求和. 3．倒序相加法：等差数列前n项和的推导方法，即将倒写 后再与相加，从而达到（化多为少）求和的目的，常用于组合数列求和. 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两 项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前n项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.例如对通项公式为的数列求和. 常见的拆项公式： ①； ②若为等差数列，且公差d不为0，首项也不为0，则； ③若的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时，则. ④；. 5．错位相减法：如果一个数列的通项是由一个非常数列的等差数列与等比数列的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为（其中是公差d≠0的等差数列，是公比q≠1的等比数列）（也称为“差比数列”）的数列求前项和.例如对通项公式为的数列求和. 一般步骤： ，则 所以有 【典型例题】 考点一：直接求和 例1.设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}的前8项和为( ) A．128 B．80 C．64 D．56 练1.如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等 于( ) A．14 B．21 C．28 D．35 练2.已知为等差数列，且，． （1） 求 的通项公式； （2）若等差数列 满足，，求的前项和公式 例2.设数列的通项为则=___________ 考点二：分组求和 例1.求和， 练1.求和. 练2.已知数列的首项，通项（，是常数），且成等