15 等比数列专题复习讲义-2024届高考数学一轮复习专题讲义

等比数列 【课前诊断】 成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差 1．在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1等于 ( )． A．－9 B．－8 C．－7 D．－4 2．数列{an}满足a1=1，an+1=an－3（nN*），则a4= A．10 B．8 C．－8 D．－10 3．已知数列为等差数列，且，那么则等于（ ） A． B． C． D． 4.设是公差为正数的等差数列，若，，则等于( ) A．120 B．105 C．90 D．75 5.数列的首项为3，为等差数列且．若,，则 ( ) A．0 B．3 C．8 D．11 【知识点】 1 等比数列的定义： 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：. 要点诠释： ①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此不能是0； ②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”,这里的项具有任意性和有序性,常数是同一个; ③隐含条件：任一项且;“”是数列成等比数列的必要不充分条件; ④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列.不为0的常数列是公比为1的等比数列； 2.等比数列的通项公式 首项为，公比为的等比数列的通项公式为： 3.等比中项 如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项.其中. 要点诠释： ①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项. 当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项. ②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一. 但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一. ③当时，、、成等比数列. ④是、、成等比数列的必要不充分条件。 4.等比数列的判定 (1)定义法： (2)等比中项法： 5.等比数列的性质 （1）若，且,则， 特别地，当时. （2）下标成等差数列且公差为的项,,,…组成的新数列仍为等比数列， 公比为. （3）若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、(,是常数)、、也是等比数列； （4）连续项和（不为零）仍是等比数列.即,,，…成等比数列，该等比数列的公比为. （5）等比数列单调性问题： · 当且时，等比数列是递增数列； · 当且时，等比数列是递减数列； · 当且时，等比数列是递减数列； · 当且时，等比数列是递增数列。 当时，等比数列是摆动数列。 6.等比数列的前项和公式： 【典型例题】 考点一： 等比数列通项公式的应用 例1已知等比数列满足，，则等于 A． B． C． D． 练1.若等比数列的第4项和第6项分别是1和16,则其第5项为 A． B． C． D． 例2.已知数列满足，则等于 A. B. C. D. 练1.已知数列是公比为2的等比数列，且满足，则的值为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 练2.若数列满足：，，则______ . 练3.已知等比数列的公比为，若，则 例3.等比数列中，, ,求. 练1.已知等比数列中,,那么的值为 . 考点二：等比中项问题 例1.等比数列中，，，则与的等比中项是(　　) A.±4 B.4 C.± D. 练1.在等比数列中，，且，则的值为___. 例2.已知数列是公比为的等比数列，，则的值为 A. B. C.或 D.或 例3.若x,2x＋2,3x＋3是一个等比数列的连续三项，则x的值为__________. 练1.如果成等比数列，那么 A. B. C. D. 练2.设等差数列的公差不为0，.若是与的等比中项，则等于(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 练3.在等比数列中，，公比.若，则( ) A.9 B.10 C.11 D.12 　 考点三：等比数列性质问题 例1.已知等比数列中，则公比（ ） A. B. C. D. 例2.等比数列中，若,求. 例3.已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是(　　) A. B. C. D. 例4.在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_____. 例5.已知等比数列的公比，则下面说法中不正确的是( ) A.是等比数列 B.对于，， C.对于，都有 D.若，则对于任意，都 练1.已知等比数列中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 练2.等比数列的各项均为正数,且,则 练3.若等比数列满足，则公比为 A.2 B.4 C.8 D.16 练4.设等比数列 的前 项和为 ，若，则 等于(　　) A.1∶