专题17 图形的性质压轴题（综合训练）-2023年中考数学经典几何模型高分突破（全国通用）

专题17 图形的性质压轴题（综合） 1．综合与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1） ∵∠B＝∠D ∴∠AEC+∠B＝180° ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2） ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上 反思归纳： （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1： ；依据2： ． （2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 ． 拓展探究： （3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE． ①求证：A，D，B，E四点共圆； ②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 2．已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC． （1）如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形； （2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明； （3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若∠BAD＝∠BCD，求∠ADB的度数． 3．阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上． 求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形． 【探究发现】（1）小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC＝AE，∠ADC＝120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形． 请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． 【拓展迁移】（2）如图2，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上． ①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由． ②若AE2+AG2＝10，试求出正方形ABCD的面积． 4．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E． （1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC，分别求出线段BD、CE和DE的长； （2）规律探究： （Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由； （Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由； （3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC． 5．问题提出 （1）如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为 ． 问题探究 （2）如图2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积． 问题解决 （3）如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人师傅在这块板材上的作法如下： ①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD； ②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E； ③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP． 请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论． 6．如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝6． （1）判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由； （2）求AB的长； （3）连接BM并延长交⊙M于点D，连接CD，求直线CD的解析式． 7．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD为对角线．点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G． （1）求证：∠DBG＝90°． （2）若BD＝6，DG＝2GE． ①求菱形ABCD的面积． ②求tan∠BDE的值．