第04课 函数性质的综合应用（学案+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点逐点突破经典学案（新高考专用）

第04课 函数性质的综合应用-2024年新高考数学一轮复习考点逐点突破经典学案 一、【考点逐点突破】 【考点1】函数的单调性与奇偶性之比较大小 【典例】设f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)＝ln x＋ex.若a＝f(－π)，b＝f(log23)，c＝f(2－0.2)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b>a>c B．c>b>a C．a>b>c D．a>c>b 【解析】当x>0时，f(x)＝ln x＋ex为增函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，a＝f(－π)＝f(π)， 又π>3>log23>1>2－0.2>0， ∴f(π)>f(log23)>f(2－0.2)， ∴a>b>c. 故选C. 【反思】比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小． 【考点2】函数的单调性与奇函数之解不等式 【典例】若函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(2)＝0，且在(0，＋∞)上单调递增，则满足f(x－1)≥0的x的取值范围是______，满足<0的x的取值范围是______． 【解析】由函数f(x)的性质，作出函数f(x)的大致图象如图所示， ∵f(x－1)≥0，则－2≤x－1≤0或x－1≥2， 解得－1≤x≤1或x≥3. 当<0时，xf(x)<0，即f(x)的图象在二、四象限， 即－2<x<0或0<x<2. 【反思】解决不等式问题，一定要充分利用已知条件，一是把已知不等式化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再利用单调性解不等式；二是利用函数的性质，画出f(x)的图象，利用图象解不等式． 【考点3】函数的单调性与偶函数之解不等式 【典例】已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足 f(2x－1)<f 的x的取值范围是________． 【解析】依题意有f(x)在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减，∴|2x－1|<， 即－<2x－1<，解得<x<. 【反思】解决不等式问题，一定要充分利用已知条件，一是把已知不等式化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再利用单调性解不等式；二是利用函数的性质，画出f(x)的图象，利用图象解不等式． 【考点4】函数的周期性与奇偶性之求值问题 【典例】已知定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(x＋8)＋f(x)＝0，且f(5)＝5，则f(2 019)＋f(2 024)＝(　　) A．－5 B．5 C．0 D．4 043 【解析】由f(x＋8)＋f(x)＝0，得f(x＋8)＝－f(x)，所以f(x＋16)＝－f(x＋8)＝f(x)，故函数y＝f(x)是以16为周期的周期函数．在f(x＋8)＋f(x)＝0中，令x＝0，得f(8)＋f(0)＝0，因为函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.故f(8)＝0.故f(2 024)＝f(16×126＋8)＝f(8)＝0.又在f(x＋8)＋f(x)＝0中，令x＝－3，得f(5)＋f(－3)＝0，得f(5)＝－f(－3)＝f(3)＝5，则f(2 019)＝f(16×126＋3)＝f(3)＝5，所以f(2 019)＋f(2 024)＝5.故选B. 【反思】周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解．　 【考点5】函数的周期性与偶函数之性质判断 【典例】(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2,0]上单调递减，下面关于f(x)的判断正确的是(　　) A．f(0)是函数的最小值 B．f(x)的图象关于点(1,0)对称 C．f(x)在[2,4]上单调递增 D．f(x)的图象关于直线x＝2对称 【解析】A项，∵f(x＋2)＝－f(x)＝－f(－x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)， ∴f(x)是周期为4的周期函数， 又f(x)在[－2,0]上单调递减，在R上是偶函数，∴在[0,2]上单调递增， ∴f(0)是函数的最小值，正确； B项，由f(x＋2)＋f(－x)＝0， ∴f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，正确； C项，又f(x)在[－2,0]上单调递减，在R上是偶函数， ∴在[0,2]上单调递增，f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(x)在[2,4]上单调递减，错误； D项，∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，f(x)的图象关于直线x＝2对称，正确． 故选ABD. 【反思】周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已