4.6 正、余弦定理及其应用举例-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

4.6 正、余弦定理及其应用举例 思维导图 知识点总结 1.正、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 余弦定理 正弦定理 公式 a2＝b2＋c2－2bccos__A； b2＝ ； c2＝a2＋b2－2abcos__C ＝ ＝ ＝2R 常见变形 cos A＝ ； cos B＝ cos C＝ (1)a＝2Rsin A，b＝ ，c＝ ； (2)sin A＝，sin B＝ ，sin C＝； (3)a∶b∶c＝ ； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A 2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b 解的个数 一解 3.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示a边上的高). (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径). [常用结论] 1.三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C； (2)cos(A＋B)＝－cos C； (3)sin＝cos； (4)cos＝sin. 2.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A >sin B⇔cos A<cos B. 典型例题分析 考向一 利用正、余弦定理解三角形 例1 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则B等于(　　) A.30° B.45° C.30°或150° D.45°或135° (2)(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A.1 B. C. D.3 (3)(2023·广州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos Bcos C·(tan B＋tan C)＝cos Btan B＋cos Ctan C，则cos A的最小值是________. 感悟提升　1.利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断). 2.利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的. 考向二 　 判断三角形的形状 例2 (1)在△ABC中，＝sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 (2)在△ABC中，＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为________. 感悟提升　判断三角形形状的两种思路 (1)化为边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状. (2)化为角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论. 考向三 与三角形面积(周长)有关的计算 例3 (2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，sin B＝. (1)求△ABC的面积； (2)若sin Asin C＝，求b. 感悟提升　三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 考向四 多边形中的解三角形问题 例4 (2023·烟台一模)如图，四边形ABCD中，AB2＋BC2＋AB·BC＝AC2. (1)若AB＝3BC＝3，求△ABC的面积； (2)若CD＝BC，∠CAD＝30°，∠BCD＝120°，求∠ACB的值. 感悟提升　平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. 考向五 三角形中的最值、范围问题 例5(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)若