4.3 三角函数的图象与性质-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

4.3 三角函数的图象与性质 思维导图 知识点总结 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)： cos(α－β)＝ ； (2)公式C(α＋β)： cos(α＋β)＝ ； (3)公式S(α－β)： sin(α－β)＝ ； (4)公式S(α＋β)： sin(α＋β)＝ ； (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝ ； (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝ . 2.辅助角公式 asin α＋bcos α＝ ，其中sin φ＝，cos φ＝. [常用结论] 两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－＝－1. 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝ . (2)公式C2α：cos 2α＝ ＝ ＝ . (3)公式T2α：tan 2α＝ . [常用结论] 1.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝. 2.升幂公式：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， 1±sin 2α＝(sin α±cos α)2. 4.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)， ，(2π，0). (2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，， ，，(2π，1). 5.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1，1] 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 [常用结论] 1.对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z). (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z). 3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数. 典型例题分析 考向一 公式的基本应用 例1 (1)若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝(　　) A. B.－ C.－ D. 答案　B 解析　∵α是第三象限角，∴sin α＜0， 且sin α＝－＝－＝－， 因此，sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝－. (2)已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　) A.－ B. C. D.－ 答案　A 解析　∵α∈， ∴cos α＝－，tan α＝－， 又tan(π－β)＝，∴tan β＝－， ∴tan(α－β)＝＝＝－. 感悟提升　1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. 2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值. 考向二 给值求值 例2 (1)(2023·淄博模拟)已知α∈，且cos 2α＝sin，则sin 2α＝(　　) A.－ B. C.－1 D.1 答案　C 解析　∵cos 2α＝sin＝(sin α＋cos α)， ∴cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(cos α＋sin α)， ∴(cos α＋sin α)＝0， ∴cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝， 由cos α＋sin α＝0平方可得1＋sin 2α＝0， 即sin 2α＝－1， 由cos α－sin α＝平方可得1－sin 2α＝， 即sin 2α＝， 因为α∈， 所以2α∈(－π，0)，sin 2α＜0， 综上，sin 2α＝－1. (2)(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为tan 2α＝＝，