4.2 同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

4.2 同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式 思维导图 知识点总结 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： . (2)商数关系：＝tan α. 2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α 余弦 cos α 正切 tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 [常用结论] 1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化. 3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 典型例题分析 考向一 同角三角函数基本关系式的应用 例1 (1)已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝________. (2)已知＝－1，则＝________；sin2α＋sin αcos α＋2＝________. (3)(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　) A.sin θ＝ B.cos θ＝－ C.tan θ＝－ D.sin θ－cos θ＝ 感悟提升　同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可实现角α的弦切互化. (2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断角的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论. 考向二 诱导公式的应用 例2 (1)(2023·长沙调研)已知sin＝，则cos＝(　　) A. B.－ C. D.± (2)设f(α)＝ (1＋2sin α≠0)，则f＝________. 感悟提升　1.诱导公式的应用步骤 任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π内的角的三角函数锐角三角函数. 2.诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 考向三 同角关系式和诱导公式的综合应用 例3 已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若α＝－，求f(α)的值； (3)若cos＝，α∈，求f(α)的值. 感悟提升　1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形. 2.注意角的范围对三角函数符号的影响. 基础题型训练 一、单选题 1．下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．下列命题中，命题正确的是（    ） A．终边相同的角一定相等 B．第一象限的角是锐角 C．若，则角的三角函数值等于角的同名三角函数值 D．半径为，的圆心角所对的弧长为 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4． 的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知角的终边交单位圆于点A，将A绕原点顺时针旋转至，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如果，且，那么的值是 (　　) A． B．或 C． D．或 二、多选题 7．（    ） A． B． C． D． 8．（多选）若，的终边关于轴对称，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知，且，则_________. 10．已知，则___________. 11．已知，则_________. 12．已知函数是定义在上的奇函数，对都有成立，当且时，有．给出下列命题： （1） （2）在[-2，2]上有5个零点 （3）点（2014，0）是函数的一个对称中心 （4）直线是函数图像的一条对称轴． 则正确的是________． 四、解答题 13．设，求. 14．已知函数，求的值. 15．已知，求下列各式的值． （1）；（2）． 16．（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值. 提升题型训练 一、单选题 1．已知s，则的值为（    ） A． B．－ C． D．－ 2．的值是（    ） A． B． C． D． 3．若sin2x>cos2x，则x的取值范围是（ ） A．{x|2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z} B．{x|2kπ＋<x<kπ＋，k∈Z} C．{x|kπ－<x<kπ＋，k∈Z} D．{x|kπ＋<x<kπ＋，k∈Z} 4．化简：（    ） A． B． C． D． 5．在中的角满足，则（    ） A． B． C． D． 6．已知是第三象限角，若，则（    ） A． B． C． D．