【暑假初升高衔接专题】第04讲 三角形（6个考点7大题型）-2023-2024学年高一数学《知识解读·题型专练》（人教A版2019必修第一册）

第4讲 三角形 1.三角形的“四心” 三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. 如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段. （1）三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. （2）三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等. （3）三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部. 过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点. 2.几种特殊的三角形 （1）结论一：等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上. （2）结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心. 【题型1 三角形中线综合应用】 【典例1】（2022秋•双阳区校级月考）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程．（教材引用不需证明） 猜想 如图1．在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以想： DE∥BC，且DE＝BC． 对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【结论应用】 如图2，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，连结DE、EF、FG、GD． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）若△ADE的面积为12，则四边形DEFG的面积为 　 　． 【变式1-1】（2022春•永春县期末）如图，AD为△ABC的中线，点E在AD上，AE＝2ED． （1）当∠ABE＝15°，∠BAD＝25°时，求∠BED的度数； （2）若△ABC的面积为30，求△BDE的面积． 【变式1-2】（2021春•鼓楼区期中）如图，在△ABC中，CD、BE分别是边AB、AC边上的中线，BE与CD相交于点O连接DE． （1）若DE＝3，则BC＝　　； （2）判断OB和OE的数量关系，并且证明你的结论． 【变式1-3】（2021•长沙二模）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AB的中点，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE、CD交于点F． （1）求证：AE＝EC； （2）若DF＝2，求CF的长． 【题型2 三角形的重心定理综合】 【典例2】（2021秋•内乡县期末）教材呈现：华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例2：如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G，求证：． 证明：连结ED． 请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 结论应用： 如图②，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F，过点F作FG⊥BC，垂足为点G，则BG：BC＝　　． 【变式2-1】（2023春•鼓楼区校级月考）如图1，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，M和N分别为OB、OC的中点，连接ED、EM、MN、ND． （1）求证：四边形DEMN是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形DEMN是矩形？给出你的结论并证明； （3）如图2，在△ABC中，BD、AF分别是边AC、BC上的中线，BD与AF相交于点O，若OA＝4，OC＝3，OB＝5，则△ABC的面积 　　（请直接写出结果）． 【变式2-2】（2022秋•虹口区期中）如图，在△ABC中，AC，BC边上的中线BE，AD交于点F，且AD⊥BE，AC＝20，AD＝12． 求：（1）BE的长； （2）求∠ABE的余弦值． 【变式2-3】（2021秋•安徽月考）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，BC的中点．连接AE，BD交于点F． （1）求证：BF＝2DF； （2）点G是AB的中点，连接EG交BD于点H，求的值． 【题型3 角平分线的性质与判定】 【典例3】（2023春•吴江区期中）如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°． （1）求∠AEC的度数； （2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，则BC＝　 ． ​ 【变式3-1】（2022秋•民权县月考）如图，在